Derivada de 1/x: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de 1/x é -1/x². Veja a demonstração pela definição de limite, a regra da potência com x⁻¹, a regra da cadeia para 1/u e exemplos resolvidos.
Potências, raízes e polinômios Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- -\dfrac{1}{x^2} para x \ne 0
- Como potência
- \dfrac{d}{dx}\,x^{-1} = -x^{-2}
- Com a regra da cadeia
- \dfrac{d}{dx}\,\dfrac{1}{u} = -\dfrac{u'}{u^2}
- Sinal
- Sempre negativa, então \frac{1}{x} decresce de cada lado de 0
- Versão para integrais
- \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C
Nesta página
A derivada de \dfrac{1}{x} é -\dfrac{1}{x^2}. O sinal de menos indica que a curva está sempre descendo, dos dois lados da assíntota vertical.
Gráfico de 1/x e de sua derivada
Perto de x = 0 os ramos são quase verticais, e -\frac{1}{x^2} é um número negativo enorme. Longe de 0 a curva fica mais plana, e -\frac{1}{x^2} se aproxima de 0.
Demonstração pela definição de limite
Junte as frações do numerador sobre o denominador comum x(x + h):
Divida por h e faça h \to 0:
Demonstração pela regra da potência
Como \frac{1}{x} = x^{-1}, a regra da potência dá -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}. A regra do quociente confirma: \frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}.
A versão com a regra da cadeia: derivada de 1/u
| Função | Função de dentro u | Derivada |
|---|---|---|
| \frac{1}{2x + 5} | 2x + 5 | -\frac{2}{(2x + 5)^2} |
| \frac{1}{x^2 + 1} | x^2 + 1 | -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} |
| \frac{1}{\sin x} | \sin x | -\frac{\cos x}{\sin^2 x} |
| \frac{1}{e^x + 1} | e^x + 1 | -\frac{e^x}{(e^x + 1)^2} |
A terceira linha é o mesmo que -\csc x\cot x, a derivada de cossec x.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: uma soma. \frac{d}{dx}\left(x + \frac{1}{x}\right) = 1 - \frac{1}{x^2}. Igualando a 0 obtemos x = \pm 1, onde x + \frac{1}{x} tem seus pontos de virada.
Exemplo 2: uma reta tangente. Em x = 2, y = \frac{1}{2} e a inclinação é -\frac{1}{4}:
Exemplo 3: derivada segunda. \frac{d}{dx}\left(-x^{-2}\right) = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}. Ela é positiva para x > 0 e negativa para x < 0, então o ramo da direita tem concavidade para cima e o da esquerda, concavidade para baixo.
Erros comuns
- Responder \ln x ou \frac{1}{x^2}. A derivada é -\frac{1}{x^2}. A função \ln x é a primitiva, não a derivada.
- Perder o sinal de menos. x^{-1} faz descer -1.
- Escrever x^0. Diminuir -1 em uma unidade dá -2, não 0.
- Esquecer u'. \frac{d}{dx}\frac{1}{3x} é -\frac{3}{(3x)^2} = -\frac{1}{3x^2}, não -\frac{1}{9x^2}.
O lado das integrais está na página da integral de 1/x, e a curva em si está na página da função recíproca.
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A regra da potência
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