Derivada de 1/x²: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de 1/x² é -2/x³. Veja as demonstrações pela regra da potência e do quociente, a regra da cadeia para 1/u², o gráfico e exemplos resolvidos.
Potências, raízes e polinômios Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- -\dfrac{2}{x^3} para x \ne 0
- Como potência
- \dfrac{d}{dx}\,x^{-2} = -2x^{-3}
- Com a regra da cadeia
- \dfrac{d}{dx}\,\dfrac{1}{u^2} = -\dfrac{2u'}{u^3}
- Derivada segunda
- \dfrac{6}{x^4}
- Versão para integrais
- \int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C
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A derivada de \dfrac{1}{x^2} é -\dfrac{2}{x^3}. Suba a potência para o numerador como x^{-2} e a regra da potência resolve tudo em um passo.
Gráfico de 1/x² e de sua derivada
O gráfico de \frac{1}{x^2} é simétrico em relação ao eixo y, então suas inclinações em x e em -x são opostas. É por isso que a derivada é uma função ímpar.
Demonstração pela regra da potência
Esta é a regra da potência com n = -2. O único cuidado é com a subtração: -2 - 1 = -3.
Demonstração pela regra do quociente
Com numerador 1 e denominador x^2, a regra do quociente dá
Mesmo resultado, mais trabalho. Reescrever como potência é o hábito mais rápido.
Demonstração pela definição de limite
Quando h \to 0, isso se torna \frac{-2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}.
A versão com a regra da cadeia: derivada de 1/u²
Exemplo 1. \frac{d}{dx}\,\frac{1}{(3x - 2)^2} = -\frac{2 \cdot 3}{(3x - 2)^3} = -\frac{6}{(3x - 2)^3}.
Exemplo 2. \frac{d}{dx}\,\frac{1}{(x^2 + 4)^2} = -\frac{2 \cdot 2x}{(x^2 + 4)^3} = -\frac{4x}{(x^2 + 4)^3}.
Exemplo 3. \frac{d}{dx}\,\frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{2(-\sin x)}{\cos^3 x} = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}. Como \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x, isso coincide com a derivada de sec²x, 2\sec^2 x\tan x.
Mais exemplos resolvidos
Exemplo 4: uma forma da física. A gravidade e a intensidade luminosa seguem F = \frac{k}{r^2}. A taxa de variação em relação à distância é \frac{dF}{dr} = -\frac{2k}{r^3}. Dobrar a distância reduz a força a um quarto e a taxa de variação a um oitavo.
Exemplo 5: derivada segunda. \frac{d}{dx}\left(-2x^{-3}\right) = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4}. Ela é positiva em todo o domínio, então os dois ramos têm concavidade para cima.
Como memorizar
Pense em \frac{1}{x^2} como uma potência que por acaso está no denominador. Suba-a como x^{-2}, aplique a regra da potência como em qualquer outra potência e depois desça o resultado de volta se quiser uma fração. Os mesmos três passos funcionam para \frac{1}{x^3}, \frac{1}{x^{10}} ou \frac{1}{\sqrt{x}}. Uma checagem rápida de sinal também ajuda: para x positivo a curva está descendo, então a derivada precisa ser negativa ali, e -\frac{2}{x^3} é.
Erros comuns
- Escrever -2x^{-1}. Descer uma unidade a partir de -2 leva a -3.
- Inverter a derivada do denominador. \frac{1}{2x} não é a derivada de \frac{1}{x^2}.
- Perder o sinal de menos. O expoente -2 desce como um coeficiente negativo.
No sentido inverso, \int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C está na página da integral de 1/x². Compare com a derivada de 1/x.
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A regra da potência
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