Ableitung von 1/x: Formel, Beweis und Beispiele
Die Ableitung von 1/x ist -1/x². Mit Beweis über den Differenzenquotienten, der Potenzregel für x⁻¹, der Kettenregel für 1/u und Beispielen wie 1/(2x + 5).
Potenzen, Wurzeln und Polynome Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- -\dfrac{1}{x^2} für x \ne 0
- Als Potenz
- \dfrac{d}{dx}\,x^{-1} = -x^{-2}
- Mit Kettenregel
- \dfrac{d}{dx}\,\dfrac{1}{u} = -\dfrac{u'}{u^2}
- Vorzeichen
- Immer negativ, also fällt \frac{1}{x} auf beiden Seiten von 0
- Als Integral
- \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C
Auf dieser Seite
Die Ableitung von \dfrac{1}{x} ist -\dfrac{1}{x^2}. Das Minuszeichen zeigt dir, dass die Kurve auf beiden Seiten der senkrechten Asymptote immer bergab geht.
Graph von 1/x und seiner Ableitung
In der Nähe von x = 0 verlaufen die Äste fast senkrecht, und -\frac{1}{x^2} ist eine riesige negative Zahl. Weit weg von 0 wird die Kurve flach, und -\frac{1}{x^2} nähert sich 0.
Beweis mit dem Differenzenquotienten
Bring die Brüche im Zähler auf den gemeinsamen Nenner x(x + h):
Teile durch h und lass h \to 0 gehen:
Beweis mit der Potenzregel
Wegen \frac{1}{x} = x^{-1} liefert die Potenzregel -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}. Die Quotientenregel bestätigt das: \frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}.
Mit der Kettenregel: Ableitung von 1/u
| Funktion | Innere Funktion u | Ableitung |
|---|---|---|
| \frac{1}{2x + 5} | 2x + 5 | -\frac{2}{(2x + 5)^2} |
| \frac{1}{x^2 + 1} | x^2 + 1 | -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} |
| \frac{1}{\sin x} | \sin x | -\frac{\cos x}{\sin^2 x} |
| \frac{1}{e^x + 1} | e^x + 1 | -\frac{e^x}{(e^x + 1)^2} |
Die dritte Zeile ist dasselbe wie -\csc x\cot x, die Ableitung von csc x.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: eine Summe. \frac{d}{dx}\left(x + \frac{1}{x}\right) = 1 - \frac{1}{x^2}. Setzt du das gleich 0, erhältst du x = \pm 1. Dort hat x + \frac{1}{x} seine Extrempunkte.
Beispiel 2: eine Tangente. An der Stelle x = 2 ist y = \frac{1}{2} und die Steigung -\frac{1}{4}:
Beispiel 3: zweite Ableitung. \frac{d}{dx}\left(-x^{-2}\right) = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}. Sie ist für x > 0 positiv und für x < 0 negativ, also ist der rechte Ast linksgekrümmt und der linke Ast rechtsgekrümmt.
Typische Fehler
- \ln x oder \frac{1}{x^2} als Antwort. Die Ableitung ist -\frac{1}{x^2}. Die Funktion \ln x ist die Stammfunktion, nicht die Ableitung.
- Das Minuszeichen verlieren. Bei x^{-1} kommt -1 nach vorne.
- x^0 schreiben. -1 um eins verringert ergibt -2, nicht 0.
- u' vergessen. \frac{d}{dx}\frac{1}{3x} ist -\frac{3}{(3x)^2} = -\frac{1}{3x^2}, nicht -\frac{1}{9x^2}.
Die Integralseite findest du unter Integral von 1/x, und die Kurve selbst auf der Seite zur Kehrwertfunktion.
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