Derivada de e^(x²): fórmula, passo a passo e exemplos
A derivada de e^(x²) é 2x·e^(x²). Veja os passos com a regra da cadeia, a derivada segunda, a diferença para (eˣ)² e exemplos como e^(−x²).
Derivadas exponenciais e logarítmicas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- 2x\,e^{x^2}
- Derivada segunda
- (4x^2 + 2)\,e^{x^2}
- Ponto crítico
- x = 0, um mínimo
- Função relacionada
- \dfrac{d}{dx}e^{-x^2} = -2x\,e^{-x^2}
- Integral
- \int e^{x^2}\,dx não tem fórmula elementar
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A derivada de e^{x^2} é 2x\,e^{x^2}. A exponencial é copiada sem mudança e multiplicada pela derivada do expoente x^2.
Passo a passo com a regra da cadeia
A função é uma composição: uma exponencial de fora e^u e uma função de dentro u = x^2. Pela regra da cadeia:
- Derive a função de fora e mantenha a de dentro: como a derivada de eˣ é e^x, isso dá e^{x^2}.
- Derive a função de dentro: \frac{d}{dx}x^2 = 2x.
- Multiplique: e^{x^2}\cdot 2x = 2x\,e^{x^2}.
É costume escrever o 2x na frente para que ninguém o confunda com parte do expoente.
Gráfico de e^(x²) e de sua derivada
A derivada 2x\,e^{x^2} é negativa para x < 0 e positiva para x > 0, porque e^{x^2} é sempre positiva. Então o gráfico desce, atinge o ponto mais baixo em x = 0 e depois sobe. Ele é simétrico em relação ao eixo y, e sua derivada é uma função ímpar.
Derivada segunda
Derive 2x\,e^{x^2} com a regra do produto:
Como 4x^2 + 2 > 0, a curva tem concavidade para cima em todo o domínio e não tem pontos de inflexão.
e^(x²) versus (eˣ)²
Elas se parecem, mas são funções diferentes:
| Função | Simplificada | Derivada |
|---|---|---|
| e^{x^2} | e^{(x^2)} | 2x\,e^{x^2} |
| (e^x)^2 | e^{2x} | 2e^{2x} |
Em x = 3: e^{x^2} = e^9 \approx 8103, mas (e^x)^2 = e^6 \approx 403. Veja a derivada de e^(2x) para a segunda.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: a curva de sino. Para f(x) = e^{-x^2}, a derivada de dentro é -2x:
Esse formato é o coração da distribuição normal. O máximo está em x = 0.
Exemplo 2: uma constante no expoente. Para g(x) = e^{3x^2 + 1},
Exemplo 3: um produto. Para h(x) = x\,e^{x^2},
Observe que h'(x) é sempre positiva, então h é sempre crescente.
Erros comuns
- Esquecer o 2x. \frac{d}{dx}e^{x^2} = e^{x^2} está errado; isso só funciona para e^x simples.
- Escrever e^{2x}. O expoente nunca muda quando você deriva uma exponencial.
- Usar a regra da potência. x^2 e^{x^2 - 1} trata a exponencial como uma potência de e com base variável. Ela não é.
- Esperar uma integral fácil. Você deriva e^{x^2} em uma linha, mas sua primitiva não tem fórmula elementar. Leia a integral de e^(x²) para entender por quê e o que fazer em vez disso.
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