Derivada de e^(x²): fórmula, pasos y ejemplos
La derivada de e^(x²) es 2x·e^(x²). Pasos con la regla de la cadena, la segunda derivada, en qué se diferencia de (eˣ)² y ejemplos como e^(−x²).
Derivadas exponenciales y logarítmicas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- 2x\,e^{x^2}
- Segunda derivada
- (4x^2 + 2)\,e^{x^2}
- Punto crítico
- x = 0, un mínimo
- Función relacionada
- \dfrac{d}{dx}e^{-x^2} = -2x\,e^{-x^2}
- Integral
- \int e^{x^2}\,dx no tiene fórmula elemental
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La derivada de e^{x^2} es 2x\,e^{x^2}. La exponencial se copia sin cambios y se multiplica por la derivada del exponente x^2.
Paso a paso con la regla de la cadena
La función es una composición: una exponencial exterior e^u y un interior u = x^2. Por la regla de la cadena:
- Deriva la exterior y conserva el interior: como la derivada de eˣ es e^x, esto da e^{x^2}.
- Deriva el interior: \frac{d}{dx}x^2 = 2x.
- Multiplica: e^{x^2}\cdot 2x = 2x\,e^{x^2}.
Lo habitual es escribir el 2x delante para que nadie lo confunda con parte del exponente.
Gráfica de e^(x²) y de su derivada
La derivada 2x\,e^{x^2} es negativa para x < 0 y positiva para x > 0, porque e^{x^2} siempre es positiva. Así que la gráfica baja, toca fondo en x = 0 y luego sube. Es simétrica respecto al eje y, y su derivada es una función impar.
Segunda derivada
Deriva 2x\,e^{x^2} con la regla del producto:
Como 4x^2 + 2 > 0, la curva es cóncava hacia arriba en todas partes y no tiene puntos de inflexión.
e^(x²) frente a (eˣ)²
Se parecen, pero son funciones distintas:
| Función | Simplificada | Derivada |
|---|---|---|
| e^{x^2} | e^{(x^2)} | 2x\,e^{x^2} |
| (e^x)^2 | e^{2x} | 2e^{2x} |
En x = 3: e^{x^2} = e^9 \approx 8103, pero (e^x)^2 = e^6 \approx 403. Consulta la derivada de e^(2x) para la segunda.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: la campana de Gauss. Para f(x) = e^{-x^2}, la derivada interior es -2x:
Esta forma es el núcleo de la distribución normal. El máximo está en x = 0.
Ejemplo 2: una constante en el exponente. Para g(x) = e^{3x^2 + 1},
Ejemplo 3: un producto. Para h(x) = x\,e^{x^2},
Fíjate en que h'(x) siempre es positiva, así que h siempre es creciente.
Errores comunes
- Olvidar el 2x. \frac{d}{dx}e^{x^2} = e^{x^2} es incorrecto; eso solo vale para e^x sin más.
- Escribir e^{2x}. El exponente nunca cambia al derivar una exponencial.
- Usar la regla de la potencia. x^2 e^{x^2 - 1} trata la exponencial como una potencia de e con base variable. No lo es.
- Esperar una integral sencilla. Puedes derivar e^{x^2} en una línea, pero su antiderivada no tiene fórmula elemental. Lee la integral de e^(x²) para saber por qué y qué hacer en su lugar.
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