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Derivadas hiperbólicas

Derivada de tgh x: fórmula, demonstração e exemplos

A derivada de tgh x é sech² x, que é igual a 1 − tgh² x. Veja a demonstração pela regra do quociente, a regra da cadeia, o gráfico e a derivada de arctgh.

Derivadas hiperbólicas Atualizado 2 min de leitura

Visão geral

\frac{d}{dx}\,\tanh x = \operatorname{sech}^2 x
Derivada
\operatorname{sech}^2 x = \dfrac{1}{\cosh^2 x}
Forma equivalente
1 - \tanh^2 x
Definição
\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}
Imagem de tgh x
(-1, 1)
Derivada da inversa
\dfrac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \dfrac{1}{1 - x^2} para \lvert x\rvert < 1
Nesta página
  1. Demonstração pela regra do quociente
  2. Gráfico de tgh x e de sua derivada
  3. Comparando tg e tgh
  4. Versão com a regra da cadeia e exemplos
  5. Onde aparece 1 − tgh² x
  6. Derivada de arctgh x
  7. Erros comuns

A derivada de \tanh x é \operatorname{sech}^2 x, que você também pode escrever como 1 - \tanh^2 x.

\frac{d}{dx}\,\tanh x = \operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x

Aqui \operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}, então \operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}.

Demonstração pela regra do quociente

Escreva \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} e use a regra do quociente, sabendo que a derivada de senh x é \cosh x e a derivada de cosh x é \sinh x:

\frac{d}{dx}\,\frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{\cosh x\cdot\cosh x - \sinh x\cdot\sinh x}{\cosh^2 x} = \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x}

A identidade hiperbólica \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 simplifica o numerador:

\frac{d}{dx}\tanh x = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x

Separar a fração dá a outra forma: \frac{\cosh^2 x}{\cosh^2 x} - \frac{\sinh^2 x}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x.

Gráfico de tgh x e de sua derivada

Gráfico de y = tgh x e de sua derivada y = sech² x
A tangente hiperbólica é uma curva em forma de S entre -1 e 1. Sua inclinação é 1 na origem e tende a 0 dos dois lados.

A derivada é sempre positiva, então \tanh x é sempre crescente. Mas ela nunca chega a \pm 1; essas retas são assíntotas horizontais. Compare com a derivada de arctg x, outra curva em S com inclinação 1 na origem, embora o arctg se aproxime de suas assíntotas bem mais devagar.

Comparando tg e tgh

Função Derivada Em termos da própria função
\tan x \sec^2 x 1 + \tan^2 x
\tanh x \operatorname{sech}^2 x 1 - \tanh^2 x

A troca de sinal vem das identidades: \sec^2 x = 1 + \tan^2 x, mas \operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x.

Versão com a regra da cadeia e exemplos

\frac{d}{dx}\tanh u = \operatorname{sech}^2 u\cdot u'

Exemplo 1. \frac{d}{dx}\tanh(2x) = 2\operatorname{sech}^2(2x).

Exemplo 2. \frac{d}{dx}\tanh(x^2) = 2x\operatorname{sech}^2(x^2).

Exemplo 3: um logaritmo. \frac{d}{dx}\ln(\cosh x) = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \tanh x. Então \int\tanh x\,dx = \ln(\cosh x) + C.

Exemplo 4: um valor. Em x = 1, \tanh 1 \approx 0.7616, então a inclinação é 1 - 0.7616^2 \approx 0.420.

Onde aparece 1 − tgh² x

Em aprendizado de máquina, a \tanh é uma função de ativação comum. O treinamento precisa de sua derivada muitas vezes, e 1 - \tanh^2 x permite que o programa reaproveite o valor de \tanh x que já calculou, em vez de calcular \cosh x.

Derivada de arctgh x

Para \lvert x\rvert < 1, faça \tanh y = x. Então (1 - \tanh^2 y)\,y' = 1, logo

\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^2}

Erros comuns

  1. Escrever \sec^2 x. Essa é a derivada da tangente circular.
  2. Escrever 1 + \tanh^2 x. A versão hiperbólica tem sinal de menos.
  3. Esquecer a derivada da função de dentro. \frac{d}{dx}\tanh(3x) = 3\operatorname{sech}^2(3x).

A página das funções hiperbólicas também trata de \operatorname{sech}, \operatorname{csch} e \coth.

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A regra do quociente

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Perguntas frequentes

Qual é a derivada de tgh x?
A derivada de \tanh x é \operatorname{sech}^2 x, que também é igual a 1 - \tanh^2 x.

Qual é a derivada de tgh(2x)?
Pela regra da cadeia, é 2\operatorname{sech}^2(2x).

Por que a derivada de tgh é escrita como 1 − tgh² x?
Porque \operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x. Divida \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 por \cosh^2 x para ver isso. Essa forma permite calcular a inclinação só a partir do valor de \tanh x.

Qual é a derivada de arctgh x?
Para \lvert x\rvert < 1, \frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^2}.

Escrito pela equipe do PracticeCalculus

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