Derivada de senh x: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de senh x é cosh x. Veja a demonstração pela definição com exponenciais, por que não há sinal de menos, exemplos com a regra da cadeia e o gráfico.
Derivadas hiperbólicas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- \cosh x
- Definição
- \sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}
- Com a regra da cadeia
- \dfrac{d}{dx}\sinh u = \cosh u\cdot u'
- Derivada segunda
- \sinh x
- Derivada da inversa
- \dfrac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}
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A derivada de \sinh x é \cosh x. O seno hiperbólico se comporta como o seno comum em muitos aspectos, mas sua derivada não traz surpresas com sinais.
Demonstração pela definição
O seno e o cosseno hiperbólicos são definidos com exponenciais:
Derive \sinh x termo a termo. A derivada de eˣ é e^x, e a derivada de e^(−x) é -e^{-x}:
Os dois sinais de menos se cancelam, e é por isso que a resposta é +\cosh x.
Gráfico de senh x e de sua derivada
Como \cosh x \ge 1 para todo x, o gráfico de \sinh x está sempre subindo, e sua menor inclinação é 1, na origem. Sua reta tangente em 0 é y = x.
Derivadas hiperbólicas versus circulares
| Circular | Derivada | Hiperbólica | Derivada |
|---|---|---|---|
| \sin x | \cos x | \sinh x | \cosh x |
| \cos x | -\sin x | \cosh x | \sinh x |
| \tan x | \sec^2 x | \tanh x | \operatorname{sech}^2 x |
O seno comum tem um ciclo de período quatro: \sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin. O seno hiperbólico tem um ciclo de período dois: \sinh \to \cosh \to \sinh. Então y = \sinh x resolve y'' = y, enquanto y = \sin x resolve y'' = -y.
Versão com a regra da cadeia e exemplos
Exemplo 1. \frac{d}{dx}\sinh(3x) = 3\cosh(3x).
Exemplo 2. \frac{d}{dx}\sinh(x^2) = 2x\cosh(x^2).
Exemplo 3: regra do produto. \frac{d}{dx}\,x\sinh x = \sinh x + x\cosh x.
Exemplo 4: uma potência. \frac{d}{dx}\sinh^2 x = 2\sinh x\cosh x = \sinh(2x), usando a identidade \sinh 2x = 2\sinh x\cosh x.
Exemplo 5: um logaritmo. \frac{d}{dx}\ln(\sinh x) = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \coth x para x > 0.
Derivada da inversa, arcsenh x
A inversa do seno hiperbólico tem uma fórmula com logaritmo, \operatorname{arsinh} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right). Sua derivada é
Você pode demonstrá-la como a derivada de arcsen x: faça \sinh y = x, derive para obter \cosh y\,y' = 1 e use \cosh y = \sqrt{1 + \sinh^2 y} = \sqrt{1 + x^2}. É por causa desse resultado que \int\frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arsinh} x + C.
Erros comuns
- Acrescentar um sinal de menos. \frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x, não -\cosh x. Só o cosseno circular ganha um menos.
- Confundir \sinh x com \sin x. Elas seguem um padrão parecido, mas são funções diferentes, com gráficos diferentes.
- Esquecer a regra da cadeia. \frac{d}{dx}\sinh(5x) = 5\cosh(5x).
Para os resultados parceiros, veja a derivada de cosh x e a derivada de tgh x. A página das funções hiperbólicas mostra seus gráficos e identidades.
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Regra da cadeia: e e ln
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