Derivada de tanh x: fórmula, demostración y ejemplos

La derivada de \tanh x es \operatorname{sech}^2 x, que también puedes escribir como 1 - \tanh^2 x.

Aquí \operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}, así que \operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}.

Demostración con la regla del cociente

Escribe \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} y usa la regla del cociente, sabiendo que la derivada de senh x es \cosh x y que la derivada de cosh x es \sinh x:

La identidad hiperbólica \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 simplifica el numerador:

Si en cambio separas la fracción, obtienes la otra forma: \frac{\cosh^2 x}{\cosh^2 x} - \frac{\sinh^2 x}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x.

Gráfica de tanh x y de su derivada

La derivada siempre es positiva, así que \tanh x siempre crece. Pero nunca llega a \pm 1; esas son asíntotas horizontales. Compárala con la derivada de arctan x, otra curva en S con pendiente 1 en el origen, aunque arctan se acerca a sus asíntotas mucho más despacio.

Comparación entre tan y tanh

El cambio de signo viene de las identidades: \sec^2 x = 1 + \tan^2 x, pero \operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x.

Versión con la regla de la cadena y ejemplos

Ejemplo 1. \frac{d}{dx}\tanh(2x) = 2\operatorname{sech}^2(2x).

Ejemplo 2. \frac{d}{dx}\tanh(x^2) = 2x\operatorname{sech}^2(x^2).

Ejemplo 3: un logaritmo. \frac{d}{dx}\ln(\cosh x) = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \tanh x. Así que \int\tanh x\,dx = \ln(\cosh x) + C.

Ejemplo 4: un valor. En x = 1, \tanh 1 \approx 0.7616, así que la pendiente es 1 - 0.7616^2 \approx 0.420.

Dónde aparece 1 − tanh² x

En aprendizaje automático, \tanh es una función de activación habitual. El entrenamiento necesita su derivada muchas veces, y 1 - \tanh^2 x permite que un programa reutilice el valor de \tanh x que ya ha calculado en lugar de evaluar \cosh x.

Derivada de artanh x

Para \lvert x\rvert < 1, toma \tanh y = x. Entonces (1 - \tanh^2 y)\,y' = 1, así que

Errores comunes

1. Escribir \sec^2 x. Esa es la derivada de la tangente circular.
2. Escribir 1 + \tanh^2 x. La versión hiperbólica lleva un signo menos.
3. Olvidar la derivada del interior. \frac{d}{dx}\tanh(3x) = 3\operatorname{sech}^2(3x).

La página de funciones hiperbólicas trata también \operatorname{sech}, \operatorname{csch} y \coth.