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Dérivées hyperboliques

Dérivée de tanh x : formule, démonstration et exemples

La dérivée de tanh x (th x) est sech² x, soit 1 − tanh² x. Démonstration par le quotient, exemples composés, courbe et dérivée de artanh.

Dérivées hyperboliques Mis à jour Lecture : 2 min

En bref

\frac{d}{dx}\,\tanh x = \operatorname{sech}^2 x
Dérivée
\operatorname{sech}^2 x = \dfrac{1}{\cosh^2 x}
Forme équivalente
1 - \tanh^2 x
Définition
\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}
Ensemble image de tanh x
(-1, 1)
Dérivée de la réciproque
\dfrac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \dfrac{1}{1 - x^2} pour \lvert x\rvert < 1
Sur cette page
  1. Démonstration par la règle du quotient
  2. Courbe de tanh x et de sa dérivée
  3. Comparer tan et tanh
  4. Version composée et exemples
  5. Où l'on rencontre 1 − tanh² x
  6. Dérivée de artanh x
  7. Erreurs fréquentes

La dérivée de \tanh x est \operatorname{sech}^2 x, que l'on peut aussi écrire 1 - \tanh^2 x.

\frac{d}{dx}\,\tanh x = \operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x

Ici, \operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}, donc \operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}.

Démonstration par la règle du quotient

Écrivons \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} et utilisons la règle du quotient, sachant que la dérivée de sinh x est \cosh x et que la dérivée de cosh x est \sinh x :

\frac{d}{dx}\,\frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{\cosh x\cdot\cosh x - \sinh x\cdot\sinh x}{\cosh^2 x} = \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x}

L'identité hyperbolique \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 simplifie le numérateur :

\frac{d}{dx}\tanh x = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x

En séparant plutôt la fraction, on obtient l'autre forme : \frac{\cosh^2 x}{\cosh^2 x} - \frac{\sinh^2 x}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x.

Courbe de tanh x et de sa dérivée

Courbe de y = tanh x et de sa dérivée y = sech² x
La tangente hyperbolique est une courbe en S comprise entre -1 et 1. Sa pente vaut 1 à l'origine et tend vers 0 des deux côtés.

La dérivée est toujours positive, donc \tanh x est toujours croissante. Mais elle n'atteint jamais \pm 1 ; ce sont des asymptotes horizontales. Comparez avec la dérivée de arctan x, une autre courbe en S de pente 1 à l'origine, même si arctan s'approche de ses asymptotes beaucoup plus lentement.

Comparer tan et tanh

Fonction Dérivée En fonction d'elle-même
\tan x \sec^2 x 1 + \tan^2 x
\tanh x \operatorname{sech}^2 x 1 - \tanh^2 x

Le changement de signe vient des identités : \sec^2 x = 1 + \tan^2 x mais \operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x.

Version composée et exemples

\frac{d}{dx}\tanh u = \operatorname{sech}^2 u\cdot u'

Exemple 1. \frac{d}{dx}\tanh(2x) = 2\operatorname{sech}^2(2x).

Exemple 2. \frac{d}{dx}\tanh(x^2) = 2x\operatorname{sech}^2(x^2).

Exemple 3 : un logarithme. \frac{d}{dx}\ln(\cosh x) = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \tanh x. Donc \int\tanh x\,dx = \ln(\cosh x) + C.

Exemple 4 : une valeur. En x = 1, \tanh 1 \approx 0.7616, donc la pente vaut 1 - 0.7616^2 \approx 0.420.

Où l'on rencontre 1 − tanh² x

En apprentissage automatique, \tanh est une fonction d'activation courante. L'entraînement a besoin de sa dérivée un très grand nombre de fois, et la forme 1 - \tanh^2 x permet au programme de réutiliser la valeur de \tanh x déjà calculée au lieu d'évaluer \cosh x.

Dérivée de artanh x

Pour \lvert x\rvert < 1, posons \tanh y = x. Alors (1 - \tanh^2 y)\,y' = 1, donc

\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^2}

Erreurs fréquentes

  1. Écrire \sec^2 x. C'est la dérivée de la tangente circulaire.
  2. Écrire 1 + \tanh^2 x. La version hyperbolique comporte un signe moins.
  3. Oublier la dérivée intérieure. \frac{d}{dx}\tanh(3x) = 3\operatorname{sech}^2(3x).

La page des fonctions hyperboliques présente aussi \operatorname{sech}, \operatorname{csch} et \coth.

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La règle du quotient

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Questions fréquentes

Quelle est la dérivée de tanh x ?
La dérivée de \tanh x est \operatorname{sech}^2 x, qui vaut aussi 1 - \tanh^2 x.

Quelle est la dérivée de tanh(2x) ?
Par la règle de dérivation en chaîne, c'est 2\operatorname{sech}^2(2x).

Pourquoi écrit-on la dérivée de tanh sous la forme 1 − tanh² x ?
Parce que \operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x. Divisez \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 par \cosh^2 x pour le voir. Cette forme permet de calculer la pente à partir de la seule valeur de \tanh x.

Quelle est la dérivée de artanh x ?
Pour \lvert x\rvert < 1, \frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^2}.

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