Derivada de cosh x: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de cosh x é senh x, sem sinal de menos. Veja a demonstração por exponenciais, o exemplo do cabo suspenso, a regra da cadeia e o gráfico.
Derivadas hiperbólicas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- \sinh x
- Definição
- \cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}
- Com a regra da cadeia
- \dfrac{d}{dx}\cosh u = \sinh u\cdot u'
- Identidade-chave
- \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1
- Derivada da inversa
- \dfrac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} para x > 1
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A derivada de \cosh x é \sinh x. Atenção ao sinal: ao contrário do cosseno circular, não há sinal de menos.
Demonstração pela definição
O cosseno hiperbólico é a média de e^x e e^{-x}:
Derive cada parte. A derivada de eˣ é e^x, e a derivada de e^(−x) é -e^{-x}:
Gráfico de cosh x e de sua derivada
A derivada \sinh x é negativa para x < 0 e positiva para x > 0, então x = 0 é um ponto de mínimo. A derivada segunda é \cosh x \ge 1 > 0, então a curva tem concavidade para cima em todo o domínio.
O cabo suspenso
Uma corrente ou um cabo pendurado sob o próprio peso assume a forma y = a\cosh\frac{x}{a}, chamada catenária. Sua inclinação em qualquer ponto é
Assim, o cabo é horizontal no ponto mais baixo e fica mais inclinado perto dos suportes. A fórmula do comprimento de arco também se simplifica bem, porque 1 + \sinh^2 u = \cosh^2 u:
Versão com a regra da cadeia e exemplos
| Função | Derivada |
|---|---|
| \cosh(2x) | 2\sinh(2x) |
| \cosh(x^2) | 2x\sinh(x^2) |
| \cosh(\ln x) | \frac{\sinh(\ln x)}{x} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{x^2}\right) |
| \cosh^2 x | 2\cosh x\sinh x = \sinh 2x |
| x\cosh x | \cosh x + x\sinh x |
Na terceira linha, \sinh(\ln x) = \frac{x - 1/x}{2}, então dividir por x dá \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{x^2}\right).
Exemplo resolvido: conferindo a identidade. Derive \cosh^2 x - \sinh^2 x:
Derivada nula significa que a expressão é constante. Em x = 0 ela vale 1 - 0 = 1, o que prova \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1.
Derivada de arccosh x
Para x > 1, o argumento do cosseno hiperbólico (a inversa de cosh) tem derivada
Faça \cosh y = x com y > 0, então \sinh y\,y' = 1 e \sinh y = \sqrt{\cosh^2 y - 1} = \sqrt{x^2 - 1}.
Erros comuns
- Escrever -\sinh x. Copiar o padrão circular é o erro mais comum.
- Achar que \cosh x pode ficar abaixo de 1. Seu mínimo é \cosh 0 = 1.
- Esquecer a derivada da função de dentro. \frac{d}{dx}\cosh(4x) = 4\sinh(4x).
Veja a derivada de senh x, a derivada de tgh x e a página das funções hiperbólicas para gráficos e identidades.
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