Integral de x ln x: fórmula, passo a passo e exemplos
A integral de x ln x é (x²/2) ln x − x²/4 + C. Veja a integração por partes com u = ln x passo a passo, a verificação, um gráfico e a fórmula de xⁿ ln x.
Produtos e integração por partes Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Primitiva
- \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C
- Método
- Integração por partes com u = \ln x, dv = x\,dx
- De 1 a e
- \frac{e^2 + 1}{4} \approx 2.097
- De 0 a 1
- -\frac{1}{4}
- Potência qualquer
- \int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C, n \ne -1
Nesta página
A integral de x\ln x é \dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4} + C. É um produto de uma potência por um logaritmo, então a ferramenta é a integração por partes, com o logaritmo como u.
Gráfico de x ln x com a área de 1 a e
Como integrar x ln x passo a passo
Use a integração por partes: \int u\,dv = uv - \int v\,du.
- Escolha as partes. u = \ln x e dv = x\,dx. Os logaritmos vêm primeiro na regra LIATE.
- Ache du e v. du = \frac{1}{x}\,dx e v = \frac{x^2}{2}.
- Aplique a fórmula. \int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx
- Termine. \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{x^2}{4}, então \int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C
O momento-chave é o passo 3: o \frac{1}{x} de du cancela uma potência de x de v, deixando uma potência simples. Isso sempre acontece com um logaritmo como u.
Verificação por derivação
A página da derivada de x ln x traz o cálculo no sentido direto.
Integrais definidas
De 1 a e:
Isso dá cerca de 2.097.
De 0 a 1: ela é imprópria em 0 porque \ln x não está definido ali, mas x^2\ln x \to 0 quando x \to 0^+:
A potência geral xⁿ ln x
Os mesmos passos com dv = x^n\,dx e v = \frac{x^{n+1}}{n+1} dão
| Integral | Resposta |
|---|---|
| \int\ln x\,dx (n = 0) | x\ln x - x + C |
| \int x^2\ln x\,dx | \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C |
| \int\sqrt{x}\ln x\,dx | \frac{2}{3}x^{3/2}\ln x - \frac{4}{9}x^{3/2} + C |
| \int\frac{\ln x}{x^2}\,dx (n = -2) | -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C |
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: um cubo. \int x^3\ln x\,dx = \frac{x^4}{4}\ln x - \frac{x^4}{16} + C, pela fórmula geral com n = 3.
Exemplo 2: logaritmo de uma potência. \int x\ln(x^2)\,dx. Use \ln(x^2) = 2\ln x para x > 0:
Exemplo 3: o caso n = −1. \int\frac{\ln x}{x}\,dx quebra a fórmula (ela dividiria por zero). Use u = \ln x, du = \frac{dx}{x}: \int u\,du = \frac{(\ln x)^2}{2} + C.
Exemplo 4: logaritmo ao quadrado. \int x(\ln x)^2\,dx. Partes com u = (\ln x)^2, dv = x\,dx dá \frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \int x\ln x\,dx, que você já conhece:
Erros comuns
- Escolher u = x. Aí v exige \int\ln x\,dx, e a integral que sobra fica mais difícil que a original.
- Esquecer de simplificar \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}. Isso é \frac{x}{2}, cuja integral é \frac{x^2}{4}, e não \frac{x^2}{2}.
- Integrar os fatores separadamente. \frac{x^2}{2}(x\ln x - x) não é a resposta.
- Usar a fórmula geral com n = -1. Veja o Exemplo 3.
Páginas relacionadas: a integral de ln x, a integral de x eˣ e o guia de integração por partes.
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