Approximation affine : exercices corrigés avec réponses

Ces exercices sur l'approximation affine commencent par la construction d'une linéarisation, l'utilisent pour estimer des racines, des sinus, des logarithmes et des puissances, puis passent aux différentielles, aux erreurs de mesure et aux estimations par excès ou par défaut. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions complètes.

L'approximation affine de f en x = a est sa tangente :

Pour x proche de a, f(x) \approx L(x). Pour le raisonnement et d'autres exemples, lisez le guide de l'approximation affine.

Exercices

Linéarisation

1. Déterminez l'approximation affine de f(x) = \sqrt{x} en a = 4.
2. Utilisez l'exercice 1 pour estimer \sqrt{4.1}.
3. Estimez \sqrt[3]{8.2}.

Estimer des valeurs

4. Estimez \sin(0.1).
5. Estimez \ln(1.05).
6. Estimez e^{0.02}.
7. Estimez (1.01)^{10}.
8. Estimez \cos 62^\circ.

Différentielles et erreur

9. Pour y = x^3, calculez dy et \Delta y lorsque x = 2 et dx = 0.1.
10. Le rayon d'une boule est mesuré à 10 cm avec une erreur possible de 0.05 cm. Estimez l'erreur possible sur le volume calculé.

Exploiter le résultat

11. L'estimation de l'exercice 2 est-elle trop grande ou trop petite ? Justifiez.
12. Une fonction vérifie f(3) = 5 et f'(3) = -2. Estimez f(3.2).

Réponses

Solutions détaillées

1. f(4) = 2 et f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}, donc f'(4) = \frac{1}{4} :

2. Remplacez x = 4.1 dans l'équation de la droite :

3. Utilisez f(x) = \sqrt[3]{x} en a = 8, puisque \sqrt[3]{8} = 2. La dérivée est f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}, donc f'(8) = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{12} :

4. Utilisez f(x) = \sin x en a = 0. f(0) = 0 et f'(0) = \cos 0 = 1, donc L(x) = x :

C'est l'approximation des petits angles \sin x \approx x, qui ne fonctionne qu'en radians.

5. Utilisez f(x) = \ln x en a = 1. f(1) = 0 et f'(1) = 1, donc L(x) = x - 1 :

6. Utilisez f(x) = e^x en a = 0. f(0) = 1 et f'(0) = 1, donc L(x) = 1 + x :

7. Utilisez f(x) = x^{10} en a = 1. f(1) = 1 et f'(x) = 10x^9, donc f'(1) = 10 :

8. Travaillez en radians. Prenez a = 60^\circ = \frac{\pi}{3}, où \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} et la pente vaut -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}. Le pas est 2^\circ = \frac{2\pi}{180} = \frac{\pi}{90} :

9. La différentielle est dy = f'(x)\,dx = 3x^2\,dx :

La variation réelle est \Delta y = (2.1)^3 - 2^3 = 9.261 - 8 = 1.261. La différentielle en donne une estimation proche et plus simple.

10. Le volume est V = \frac{4}{3}\pi r^3, donc dV = 4\pi r^2\,dr :

Le volume vaut \frac{4000\pi}{3} \approx 4189 cm³, donc l'erreur relative est \frac{20\pi}{4000\pi/3} = 0.015, soit 1.5\%. C'est trois fois l'erreur de 0.5\% sur le rayon, car le rayon est élevé au cube.

11. Pour f(x) = \sqrt{x}, f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0, donc la courbe est concave. Une courbe concave est en dessous de ses tangentes, donc l'estimation 2.025 est un peu trop grande. La valeur exacte 2.02485 le confirme.

12. Utilisez l'approximation affine en a = 3 :

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Choisir un a trop éloigné. Pour estimer \sqrt{4.1}, prenez a = 4, et non a = 1. Plus a est proche, meilleure est l'estimation.
• Travailler en degrés. Dans l'exercice 8, le pas doit être en radians, \frac{\pi}{90}, et non 2.
• Confondre dy et \Delta y. dy est la variation le long de la tangente, et \Delta y est la variation réelle le long de la courbe.
• Mal calculer x - a. Dans l'exercice 3, le pas est 8.2 - 8 = 0.2, et non 8.2.

Continuer à s'entraîner

Ces 12 exercices utilisent des nombres fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouveaux nombres et une correction immédiate, essayez la leçon sur l'approximation affine et le théorème des accroissements finis. Le théorème des accroissements finis est la version exacte de la même idée : la pente moyenne sur un intervalle est égale à la pente de la tangente en un point de cet intervalle. Pour plus de précision qu'une droite, l'étape suivante est celle des polynômes de Taylor.