Ejercicios resueltos de aproximación lineal con respuestas

Estos ejercicios de aproximación lineal empiezan construyendo una linealización, la usan para estimar raíces, senos, logaritmos y potencias, y luego pasan a diferenciales, error de medida y estimaciones por exceso o por defecto. Intenta cada uno primero. Las respuestas aparecen justo después de la lista, y luego las soluciones completas.

La linealización de f en x = a es su recta tangente:

Para x cerca de a, f(x) \approx L(x). Para ver el razonamiento y más ejemplos, lee la guía de aproximación lineal.

Ejercicios

Linealización

1. Halla la linealización de f(x) = \sqrt{x} en a = 4.
2. Usa el ejercicio 1 para estimar \sqrt{4.1}.
3. Estima \sqrt[3]{8.2}.

Estimar valores

4. Estima \sin(0.1).
5. Estima \ln(1.05).
6. Estima e^{0.02}.
7. Estima (1.01)^{10}.
8. Estima \cos 62^\circ.

Diferenciales y error

9. Para y = x^3, halla dy y \Delta y cuando x = 2 y dx = 0.1.
10. El radio de una bola mide 10 cm con un posible error de 0.05 cm. Estima el posible error en el volumen calculado.

Usar el resultado

11. ¿La estimación del ejercicio 2 es por exceso o por defecto? Explica por qué.
12. Una función cumple f(3) = 5 y f'(3) = -2. Estima f(3.2).

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. f(4) = 2 y f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}, así que f'(4) = \frac{1}{4}:

2. Sustituye x = 4.1 en la recta:

3. Usa f(x) = \sqrt[3]{x} en a = 8, ya que \sqrt[3]{8} = 2. La derivada es f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}, así que f'(8) = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{12}:

4. Usa f(x) = \sin x en a = 0. f(0) = 0 y f'(0) = \cos 0 = 1, así que L(x) = x:

Es la aproximación para ángulos pequeños \sin x \approx x, que solo funciona en radianes.

5. Usa f(x) = \ln x en a = 1. f(1) = 0 y f'(1) = 1, así que L(x) = x - 1:

6. Usa f(x) = e^x en a = 0. f(0) = 1 y f'(0) = 1, así que L(x) = 1 + x:

7. Usa f(x) = x^{10} en a = 1. f(1) = 1 y f'(x) = 10x^9, así que f'(1) = 10:

8. Trabaja en radianes. Usa a = 60^\circ = \frac{\pi}{3}, donde \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} y la pendiente es -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}. El incremento es 2^\circ = \frac{2\pi}{180} = \frac{\pi}{90}:

9. La diferencial es dy = f'(x)\,dx = 3x^2\,dx:

El cambio real es \Delta y = (2.1)^3 - 2^3 = 9.261 - 8 = 1.261. La diferencial es una estimación cercana y más sencilla.

10. El volumen es V = \frac{4}{3}\pi r^3, así que dV = 4\pi r^2\,dr:

El volumen es \frac{4000\pi}{3} \approx 4189 cm³, así que el error relativo es \frac{20\pi}{4000\pi/3} = 0.015, o 1.5\%. Es el triple del error del 0.5\% en el radio, porque el radio está elevado al cubo.

11. Para f(x) = \sqrt{x}, f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0, así que la gráfica es cóncava hacia abajo. Una curva cóncava hacia abajo queda por debajo de sus rectas tangentes, así que la estimación 2.025 es un poco grande. El valor real 2.02485 lo confirma.

12. Usa la linealización en a = 3:

Errores comunes en estos ejercicios

• Elegir un a lejano. Para estimar \sqrt{4.1}, usa a = 4, no a = 1. Cuanto más cerca esté a, mejor será la estimación.
• Usar grados. En el ejercicio 8 el incremento debe estar en radianes, \frac{\pi}{90}, no 2.
• Confundir dy y \Delta y. dy es el cambio a lo largo de la recta tangente, y \Delta y es el cambio real a lo largo de la curva.
• Calcular mal x - a. En el ejercicio 3 el incremento es 8.2 - 8 = 0.2, no 8.2.

Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con números nuevos y corrección al instante, prueba la lección de aproximación lineal y TVM. El Teorema del Valor Medio es la versión exacta de la misma idea: la pendiente media en un intervalo es igual a la pendiente de la tangente en algún punto interior. Cuando necesites más precisión de la que da una recta, el siguiente paso son los polinomios de Taylor.