Aufgaben: e-Funktion und ln ableiten mit Lösungen

Diese Aufgaben zur Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen beginnen mit den Grundregeln und nutzen dann die Kettenregel, die Logarithmusgesetze und das logarithmische Differenzieren. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen direkt nach der Liste, danach folgen die vollständigen Lösungswege.

Die Regeln, die du brauchst:

Mit einer inneren Funktion u: (e^u)' = e^u u' und (\ln u)' = \frac{u'}{u}. Die Herleitungen findest du bei der Ableitung von e^x, der Ableitung von ln x und der Ableitung von 2^x.

Aufgaben

Grundregeln

1. y = 5e^x - \ln x
2. y = 2^x
3. y = \log_{10} x

Kettenregel

4. y = e^{3x}
5. y = \ln(x^2 + 1)
6. y = 5^{x^2}

Zuerst die Logarithmusgesetze anwenden

7. y = \ln(5x)
8. y = \ln\sqrt{x^2 + 4}
9. y = \ln\!\left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right)

Mit anderen Regeln

10. y = x^2\ln x
11. y = \dfrac{e^x}{1 + e^x}
12. y = x^x für x > 0

Lösungen

Lösungswege Schritt für Schritt

1. Leite jeden Summanden einzeln ab:

2. Verwende (a^x)' = a^x\ln a mit a = 2:

3. Verwende (\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a} mit a = 10, oder schreibe zuerst \log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}:

4. Die innere Funktion ist 3x mit der Ableitung 3:

5. Verwende (\ln u)' = \frac{u'}{u} mit u = x^2 + 1:

6. Verwende (a^u)' = a^u\ln a\cdot u' mit a = 5 und u = x^2:

7. Zerlege den Logarithmus: \ln(5x) = \ln 5 + \ln x. Der erste Summand ist eine Konstante:

Die Kettenregel liefert dasselbe: \frac{5}{5x} = \frac{1}{x}.

8. Eine Quadratwurzel ist eine Potenz mit Exponent \frac{1}{2}, und der Logarithmus holt Exponenten nach vorne:

9. Zerlege den Quotienten: y = \ln(x + 1) - \ln(x - 1). Dann gilt

Das ist viel kürzer als die Quotientenregel innerhalb der Kettenregel.

10. Verwende die Produktregel:

11. Verwende die Quotientenregel. Zähler und Nenner haben beide die Ableitung e^x:

12. Weder die Potenzregel noch die Regel für Exponentialfunktionen passt, denn x steht an beiden Stellen. Verwende das logarithmische Differenzieren: Wende auf beiden Seiten \ln an.

Leite beide Seiten ab, rechts mit der Produktregel:

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Die Potenzregel auf e^x oder 2^x anwenden. (2^x)' ist nicht x\cdot 2^{x-1}. Die Variable steht im Exponenten, also brauchst du 2^x\ln 2.
• \ln(x^2 + 1)' = \frac{1}{x^2 + 1} schreiben. Dabei fehlt die innere Ableitung 2x im Zähler.
• Einen Logarithmus falsch zerlegen. \ln(x + 1) \ne \ln x + \ln 1. Die Logarithmusgesetze zerlegen Produkte und Quotienten, keine Summen.
• x^x wie x\cdot x^{x-1} behandeln. Aufgabe 12 braucht das logarithmische Differenzieren. Mehr dazu bei der Ableitung von x^x.

Weiter üben

Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für beliebig viele Übungen mit neuen Funktionen und sofortiger Rückmeldung probiere die Lektion zur Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen und danach die Lektion zur Kettenregel mit Exponentialfunktionen. Weitere Rechenbeispiele findest du im Leitfaden zu Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen.