Exercícios de equações diferenciais resolvidos, com respostas

Estes exercícios de equações diferenciais cobrem equações separáveis, crescimento e decaimento exponencial, a lei de resfriamento de Newton, o crescimento logístico, soluções de equilíbrio e o método de Euler. Tente cada um primeiro. As respostas vêm antes, depois as resoluções completas.

O método para uma equação separável:

Separe, integre os dois lados, some C e depois isole y.

Exercícios

Equações separáveis

1. \dfrac{dy}{dx} = 6x^2, y(0) = 2
2. \dfrac{dy}{dx} = 2xy, y(0) = 5
3. \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y}, y(0) = 3
4. \dfrac{dy}{dx} = y^2, y(0) = 1
5. \dfrac{dy}{dx} = y\cos x, y(0) = 2

Crescimento e decaimento

6. \dfrac{dy}{dt} = -0.2y, y(0) = 100. Encontre y(5).
7. Uma amostra de 80 g tem meia-vida de 10 anos. Quanto resta depois de 25 anos?
8. Uma cultura de bactérias começa com 500 e dobra a cada 3 horas. Quando ela chega a 8000?
9. Um café a 90^\circC esfria em uma sala a 20^\circC segundo \frac{dT}{dt} = -k(T - 20). Depois de 10 minutos ele está a 60^\circC. Quando chegará a 30^\circC?

Análise qualitativa e numérica

10. Para \dfrac{dP}{dt} = 0.4P\left(1 - \dfrac{P}{1000}\right), encontre a capacidade de suporte e a população em que o crescimento é mais rápido.
11. Encontre as soluções de equilíbrio de \dfrac{dy}{dx} = y(y - 3) e diga se cada uma é estável.
12. Use o método de Euler com h = 0.1 e dois passos para estimar y(0.2) em \dfrac{dy}{dx} = x + y, y(0) = 1.

Respostas

Resolução passo a passo

1. Não é preciso separar. Integre: y = 2x^3 + C. Como y(0) = 2, C = 2.

2. Separe: \frac{dy}{y} = 2x\,dx. Integre: \ln|y| = x^2 + C. Aplique a exponencial: y = Ae^{x^2}. Como y(0) = 5, A = 5:

3. Separe: y\,dy = x\,dx. Integre: \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C, então y^2 = x^2 + C'. Com y(0) = 3, C' = 9. Tome a raiz positiva, porque y(0) > 0:

4. Separe: y^{-2}\,dy = dx. Integre: -\frac{1}{y} = x + C. Com y(0) = 1, C = -1, então -\frac{1}{y} = x - 1:

A solução explode em x = 1, embora a equação pareça inofensiva.

5. Separe: \frac{dy}{y} = \cos x\,dx. Integre: \ln|y| = \sin x + C, então y = Ae^{\sin x}, e y(0) = 2 dá A = 2.

6. Esta é \frac{dy}{dt} = ky com k = -0.2, então y = 100e^{-0.2t}:

7. 25 anos correspondem a 2.5 meias-vidas:

8. 8000 = 500\cdot 16 = 500\cdot 2^4. São 4 duplicações de 3 horas cada, ou seja, 12 horas.

9. Seja D = T - 20. Então \frac{dD}{dt} = -kD, logo T = 20 + 70e^{-kt}. Em t = 10: 40 = 70e^{-10k}, então k = \frac{\ln(7/4)}{10} \approx 0.056. Para T = 30: 10 = 70e^{-kt}, então e^{-kt} = \frac{1}{7} e:

10. A equação tem a forma kP\left(1 - \frac{P}{L}\right) com L = 1000. O lado direito é uma parábola com concavidade para baixo em P, com raízes 0 e 1000, então é máximo no vértice, P = 500.

11. Faça y(y - 3) = 0: y = 0 e y = 3. Entre eles, y(y - 3) < 0, então as soluções descem em direção a 0. Acima de 3, y(y - 3) > 0, então as soluções sobem, afastando-se de 3. Abaixo de 0, a inclinação é positiva, então as soluções sobem em direção a 0. Isso torna 0 estável e 3 instável.

12. Use y_{n+1} = y_n + h\cdot f(x_n, y_n):

• Passo 1: y_1 = 1 + 0.1(0 + 1) = 1.1
• Passo 2: y_2 = 1.1 + 0.1(0.1 + 1.1) = 1.22

A solução exata é y = 2e^x - x - 1, então y(0.2) \approx 1.2428. O método de Euler subestima aqui porque as curvas solução têm concavidade para cima.

Erros comuns nestes exercícios

• Somar C tarde demais. No exercício 2, y = e^{x^2} + C está errado. Some C logo depois de integrar.
• Não separar completamente. \frac{dy}{dx} = x + y não pode ser separada. É por isso que o exercício 12 usa o método de Euler.
• Perder as unidades de tempo. No exercício 7, divida os 25 anos pela meia-vida de 10 anos antes de usar a fórmula.
• Usar T em vez de T - 20. Em problemas de resfriamento, a exponencial descreve a diferença em relação à temperatura ambiente.

Continue praticando

Para exercícios ilimitados com correção imediata, experimente a lição de equações separáveis, a lição de crescimento e decaimento, a lição de crescimento logístico e a lição do método de Euler. Para ver o que um campo de direções diz antes de resolver, experimente a lição de campos de direções.