Ejercicios de ecuaciones diferenciales resueltos con respuestas

Estos ejercicios de ecuaciones diferenciales cubren ecuaciones de variables separables, crecimiento y decaimiento exponencial, la ley de enfriamiento de Newton, el crecimiento logístico, las soluciones de equilibrio y el método de Euler. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero y después las soluciones completas.

El método para una ecuación de variables separables:

Separa, integra ambos lados, añade C y después despeja y.

Ejercicios

Ecuaciones de variables separables

1. \dfrac{dy}{dx} = 6x^2, y(0) = 2
2. \dfrac{dy}{dx} = 2xy, y(0) = 5
3. \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y}, y(0) = 3
4. \dfrac{dy}{dx} = y^2, y(0) = 1
5. \dfrac{dy}{dx} = y\cos x, y(0) = 2

Crecimiento y decaimiento

6. \dfrac{dy}{dt} = -0.2y, y(0) = 100. Halla y(5).
7. Una muestra de 80 g tiene un periodo de semidesintegración de 10 años. ¿Cuánto queda al cabo de 25 años?
8. Un cultivo de bacterias empieza con 500 y se duplica cada 3 horas. ¿Cuándo llega a 8000?
9. Un café a 90^\circC se enfría en una habitación a 20^\circC según \frac{dT}{dt} = -k(T - 20). Al cabo de 10 minutos está a 60^\circC. ¿Cuándo llegará a 30^\circC?

Análisis cualitativo y numérico

10. Para \dfrac{dP}{dt} = 0.4P\left(1 - \dfrac{P}{1000}\right), halla la capacidad de carga y la población en la que el crecimiento es más rápido.
11. Halla las soluciones de equilibrio de \dfrac{dy}{dx} = y(y - 3) y di si cada una es estable.
12. Usa el método de Euler con h = 0.1 y dos pasos para estimar y(0.2) para \dfrac{dy}{dx} = x + y, y(0) = 1.

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. No hace falta separar. Integra: y = 2x^3 + C. Como y(0) = 2, C = 2.

2. Separa: \frac{dy}{y} = 2x\,dx. Integra: \ln|y| = x^2 + C. Aplica la exponencial: y = Ae^{x^2}. Como y(0) = 5, A = 5:

3. Separa: y\,dy = x\,dx. Integra: \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C, así que y^2 = x^2 + C'. Con y(0) = 3, C' = 9. Toma la raíz positiva porque y(0) > 0:

4. Separa: y^{-2}\,dy = dx. Integra: -\frac{1}{y} = x + C. Con y(0) = 1, C = -1, así que -\frac{1}{y} = x - 1:

La solución explota en x = 1, aunque la ecuación parezca inofensiva.

5. Separa: \frac{dy}{y} = \cos x\,dx. Integra: \ln|y| = \sin x + C, así que y = Ae^{\sin x}, y y(0) = 2 da A = 2.

6. Es \frac{dy}{dt} = ky con k = -0.2, así que y = 100e^{-0.2t}:

7. 25 años son 2.5 periodos de semidesintegración:

8. 8000 = 500\cdot 16 = 500\cdot 2^4. Son 4 duplicaciones de 3 horas cada una, así que 12 horas.

9. Sea D = T - 20. Entonces \frac{dD}{dt} = -kD, así que T = 20 + 70e^{-kt}. En t = 10: 40 = 70e^{-10k}, así que k = \frac{\ln(7/4)}{10} \approx 0.056. Para T = 30: 10 = 70e^{-kt}, así que e^{-kt} = \frac{1}{7} y:

10. La ecuación tiene la forma kP\left(1 - \frac{P}{L}\right) con L = 1000. El lado derecho es una parábola hacia abajo en P con raíces 0 y 1000, así que alcanza su máximo en el vértice, P = 500.

11. Iguala y(y - 3) = 0: y = 0 e y = 3. Entre ambas, y(y - 3) < 0, así que las soluciones bajan hacia 0. Por encima de 3, y(y - 3) > 0, así que las soluciones suben alejándose de 3. Por debajo de 0, la pendiente es positiva, así que las soluciones suben hacia 0. Eso hace que 0 sea estable y 3 inestable.

12. Usa y_{n+1} = y_n + h\cdot f(x_n, y_n):

• Paso 1: y_1 = 1 + 0.1(0 + 1) = 1.1
• Paso 2: y_2 = 1.1 + 0.1(0.1 + 1.1) = 1.22

La solución exacta es y = 2e^x - x - 1, así que y(0.2) \approx 1.2428. Aquí el método de Euler subestima porque las curvas solución son cóncavas hacia arriba.

Errores comunes en estos ejercicios

• Añadir C demasiado tarde. En el ejercicio 2, y = e^{x^2} + C es incorrecto. Añade C justo después de integrar.
• No separar del todo. \frac{dy}{dx} = x + y no se puede separar. Por eso el ejercicio 12 usa el método de Euler.
• Perder las unidades de tiempo. En el ejercicio 7, divide los 25 años entre el periodo de semidesintegración de 10 años antes de usar la fórmula.
• Usar T en lugar de T - 20. En los problemas de enfriamiento, la exponencial describe la diferencia con la temperatura ambiente.

Sigue practicando

Para practicar sin límite con corrección al instante, prueba la lección de ecuaciones de variables separables, la lección de crecimiento y decaimiento, la lección de crecimiento logístico y la lección del método de Euler. Para ver qué te dice un campo de pendientes antes de resolver, prueba la lección de campos de pendientes.