Aufgaben zu Differentialgleichungen mit Lösungen und Lösungsweg

Diese Aufgaben zu Differentialgleichungen behandeln die Trennung der Variablen, exponentielles Wachstum und exponentiellen Zerfall, das newtonsche Abkühlungsgesetz, logistisches Wachstum, Gleichgewichtslösungen und das Euler-Verfahren. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen zuerst, danach folgen die vollständigen Lösungswege.

Das Verfahren bei getrennten Variablen:

Trennen, beide Seiten integrieren, C hinzufügen und nach y auflösen.

Aufgaben

Trennung der Variablen

1. \dfrac{dy}{dx} = 6x^2, y(0) = 2
2. \dfrac{dy}{dx} = 2xy, y(0) = 5
3. \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y}, y(0) = 3
4. \dfrac{dy}{dx} = y^2, y(0) = 1
5. \dfrac{dy}{dx} = y\cos x, y(0) = 2

Wachstum und Zerfall

6. \dfrac{dy}{dt} = -0.2y, y(0) = 100. Bestimme y(5).
7. Eine Probe von 80 g hat eine Halbwertszeit von 10 Jahren. Wie viel ist nach 25 Jahren noch übrig?
8. Eine Bakterienkultur beginnt mit 500 und verdoppelt sich alle 3 Stunden. Wann erreicht sie 8000?
9. Kaffee mit 90^\circC kühlt in einem Raum mit 20^\circC nach \frac{dT}{dt} = -k(T - 20) ab. Nach 10 Minuten hat er 60^\circC. Wann erreicht er 30^\circC?

Qualitativ und numerisch

10. Bestimme für \dfrac{dP}{dt} = 0.4P\left(1 - \dfrac{P}{1000}\right) die Kapazitätsgrenze und die Populationsgröße, bei der das Wachstum am schnellsten ist.
11. Bestimme die Gleichgewichtslösungen von \dfrac{dy}{dx} = y(y - 3) und gib jeweils an, ob sie stabil sind.
12. Schätze y(0.2) für \dfrac{dy}{dx} = x + y, y(0) = 1 mit dem Euler-Verfahren mit h = 0.1 und zwei Schritten.

Lösungen

Lösungswege Schritt für Schritt

1. Trennen ist nicht nötig. Integriere: y = 2x^3 + C. Wegen y(0) = 2 ist C = 2.

2. Trenne: \frac{dy}{y} = 2x\,dx. Integriere: \ln|y| = x^2 + C. Exponenziere: y = Ae^{x^2}. Wegen y(0) = 5 ist A = 5:

3. Trenne: y\,dy = x\,dx. Integriere: \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C, also y^2 = x^2 + C'. Mit y(0) = 3 ist C' = 9. Nimm die positive Wurzel, weil y(0) > 0:

4. Trenne: y^{-2}\,dy = dx. Integriere: -\frac{1}{y} = x + C. Mit y(0) = 1 ist C = -1, also -\frac{1}{y} = x - 1:

Die Lösung wächst bei x = 1 über alle Grenzen, obwohl die Gleichung harmlos aussieht.

5. Trenne: \frac{dy}{y} = \cos x\,dx. Integriere: \ln|y| = \sin x + C, also y = Ae^{\sin x}, und y(0) = 2 liefert A = 2.

6. Das ist \frac{dy}{dt} = ky mit k = -0.2, also y = 100e^{-0.2t}:

7. 25 Jahre sind 2.5 Halbwertszeiten:

8. 8000 = 500\cdot 16 = 500\cdot 2^4. Das sind 4 Verdopplungen zu je 3 Stunden, also 12 Stunden.

9. Setze D = T - 20. Dann gilt \frac{dD}{dt} = -kD, also T = 20 + 70e^{-kt}. Bei t = 10: 40 = 70e^{-10k}, also k = \frac{\ln(7/4)}{10} \approx 0.056. Für T = 30: 10 = 70e^{-kt}, also e^{-kt} = \frac{1}{7} und:

10. Die Gleichung hat die Form kP\left(1 - \frac{P}{L}\right) mit L = 1000. Die rechte Seite ist in P eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen 0 und 1000, also ist sie am Scheitelpunkt P = 500 am größten.

11. Setze y(y - 3) = 0: y = 0 und y = 3. Dazwischen ist y(y - 3) < 0, die Lösungen fallen also in Richtung 0. Oberhalb von 3 ist y(y - 3) > 0, die Lösungen steigen also von 3 weg. Unterhalb von 0 ist die Steigung positiv, die Lösungen steigen also in Richtung 0. Damit ist 0 stabil und 3 instabil.

12. Verwende y_{n+1} = y_n + h\cdot f(x_n, y_n):

• Schritt 1: y_1 = 1 + 0.1(0 + 1) = 1.1
• Schritt 2: y_2 = 1.1 + 0.1(0.1 + 1.1) = 1.22

Die exakte Lösung ist y = 2e^x - x - 1, also y(0.2) \approx 1.2428. Das Euler-Verfahren unterschätzt hier, weil die Lösungskurven linksgekrümmt sind.

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• C zu spät hinzufügen. In Aufgabe 2 ist y = e^{x^2} + C falsch. Füge C direkt nach dem Integrieren hinzu.
• Nicht vollständig trennen. \frac{dy}{dx} = x + y lässt sich nicht trennen. Deshalb nutzt Aufgabe 12 das Euler-Verfahren.
• Die Zeiteinheiten aus dem Blick verlieren. Teile in Aufgabe 7 die 25 Jahre durch die Halbwertszeit von 10 Jahren, bevor du die Formel anwendest.
• T statt T - 20 verwenden. Bei Abkühlungsaufgaben beschreibt die Exponentialfunktion den Unterschied zur Raumtemperatur.

Weiter üben

Für beliebig viele Aufgaben mit sofortiger Rückmeldung probiere die Lektion zur Trennung der Variablen, die Lektion zu Wachstum und Zerfall, die Lektion zum logistischen Wachstum und die Lektion zum Euler-Verfahren. Was dir ein Richtungsfeld schon vor dem Lösen verrät, zeigt die Lektion zu Richtungsfeldern.