Équations différentielles : exercices corrigés avec réponses

Ces exercices sur les équations différentielles couvrent les équations à variables séparables, la croissance et la décroissance exponentielles, la loi de refroidissement de Newton, le modèle logistique, les solutions d'équilibre et la méthode d'Euler. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses sont données en premier, puis viennent les solutions détaillées.

La méthode pour une équation à variables séparables :

Séparez, intégrez les deux membres, ajoutez C, puis isolez y.

Exercices

Équations à variables séparables

1. \dfrac{dy}{dx} = 6x^2, y(0) = 2
2. \dfrac{dy}{dx} = 2xy, y(0) = 5
3. \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y}, y(0) = 3
4. \dfrac{dy}{dx} = y^2, y(0) = 1
5. \dfrac{dy}{dx} = y\cos x, y(0) = 2

Croissance et décroissance

6. \dfrac{dy}{dt} = -0.2y, y(0) = 100. Calculez y(5).
7. Un échantillon de 80 g a une demi-vie de 10 ans. Quelle quantité reste-t-il après 25 ans ?
8. Une culture de bactéries compte 500 individus au départ et double toutes les 3 heures. Quand atteint-elle 8000 ?
9. Un café à 90^\circC refroidit dans une pièce à 20^\circC selon \frac{dT}{dt} = -k(T - 20). Après 10 minutes, il est à 60^\circC. Quand atteindra-t-il 30^\circC ?

Étude qualitative et numérique

10. Pour \dfrac{dP}{dt} = 0.4P\left(1 - \dfrac{P}{1000}\right), trouvez la capacité d'accueil et la population pour laquelle la croissance est la plus rapide.
11. Trouvez les solutions d'équilibre de \dfrac{dy}{dx} = y(y - 3) et dites si chacune est stable.
12. Utilisez la méthode d'Euler avec h = 0.1 et deux pas pour estimer y(0.2) pour \dfrac{dy}{dx} = x + y, y(0) = 1.

Réponses

Solutions détaillées

1. Pas besoin de séparer. Intégrez : y = 2x^3 + C. Comme y(0) = 2, C = 2.

2. Séparez : \frac{dy}{y} = 2x\,dx. Intégrez : \ln|y| = x^2 + C. Passez à l'exponentielle : y = Ae^{x^2}. Comme y(0) = 5, A = 5 :

3. Séparez : y\,dy = x\,dx. Intégrez : \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C, donc y^2 = x^2 + C'. Avec y(0) = 3, C' = 9. Prenez la racine positive car y(0) > 0 :

4. Séparez : y^{-2}\,dy = dx. Intégrez : -\frac{1}{y} = x + C. Avec y(0) = 1, C = -1, donc -\frac{1}{y} = x - 1 :

La solution explose en x = 1, alors que l'équation semble inoffensive.

5. Séparez : \frac{dy}{y} = \cos x\,dx. Intégrez : \ln|y| = \sin x + C, donc y = Ae^{\sin x}, et y(0) = 2 donne A = 2.

6. C'est \frac{dy}{dt} = ky avec k = -0.2, donc y = 100e^{-0.2t} :

7. 25 ans représentent 2.5 demi-vies :

8. 8000 = 500\cdot 16 = 500\cdot 2^4. Cela fait 4 doublements de 3 heures chacun, donc 12 heures.

9. Posons D = T - 20. Alors \frac{dD}{dt} = -kD, donc T = 20 + 70e^{-kt}. En t = 10 : 40 = 70e^{-10k}, donc k = \frac{\ln(7/4)}{10} \approx 0.056. Pour T = 30 : 10 = 70e^{-kt}, donc e^{-kt} = \frac{1}{7} et :

10. L'équation est de la forme kP\left(1 - \frac{P}{L}\right) avec L = 1000. Le second membre est une parabole tournée vers le bas en P, de racines 0 et 1000, donc il est maximal au sommet, P = 500.

11. Posez y(y - 3) = 0 : y = 0 et y = 3. Entre les deux, y(y - 3) < 0, donc les solutions descendent vers 0. Au-dessus de 3, y(y - 3) > 0, donc les solutions montent en s'éloignant de 3. En dessous de 0, la pente est positive, donc les solutions montent vers 0. Ainsi 0 est stable et 3 instable.

12. Utilisez y_{n+1} = y_n + h\cdot f(x_n, y_n) :

• Pas 1 : y_1 = 1 + 0.1(0 + 1) = 1.1
• Pas 2 : y_2 = 1.1 + 0.1(0.1 + 1.1) = 1.22

La solution exacte est y = 2e^x - x - 1, donc y(0.2) \approx 1.2428. Ici, la méthode d'Euler sous-estime car les courbes solutions sont convexes.

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Ajouter C trop tard. Dans l'exercice 2, y = e^{x^2} + C est faux. Ajoutez C juste après l'intégration.
• Ne pas séparer complètement. \frac{dy}{dx} = x + y n'est pas à variables séparables. C'est pourquoi l'exercice 12 utilise la méthode d'Euler.
• Se tromper d'unité de temps. Dans l'exercice 7, divisez 25 ans par la demi-vie de 10 ans avant d'utiliser la formule.
• Utiliser T au lieu de T - 20. Dans les problèmes de refroidissement, l'exponentielle décrit l'écart avec la température ambiante.

Continuer à s'entraîner

Pour des exercices en nombre illimité avec correction immédiate, essayez la leçon sur les équations à variables séparables, la leçon sur la croissance et la décroissance, la leçon sur le modèle logistique et la leçon sur la méthode d'Euler. Pour voir ce qu'un champ de directions vous apprend avant de résoudre, essayez la leçon sur les champs de directions.