Étude de fonctions : exercices corrigés avec réponses

Ces exercices d'étude de fonctions reprennent tout ce qu'il faut pour tracer une courbe à partir de ses dérivées : points critiques, intervalles de croissance et de décroissance, extremums locaux, convexité, points d'inflexion et asymptotes. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions détaillées.

Ce que chaque dérivée vous apprend :

Pour une méthode complète, lisez le guide de l'étude de fonctions.

Exercices

Une fonction, étape par étape : f(x) = x^3 - 3x^2

1. Trouvez les points critiques.
2. Trouvez où f est croissante et décroissante.
3. Trouvez le maximum local et le minimum local.
4. Trouvez les intervalles de convexité et le point d'inflexion.

Points critiques qui ne sont pas des extremums

5. Trouvez les extremums locaux de f(x) = x^4 - 4x^3.
6. Trouvez les intervalles de convexité et les points d'inflexion de f(x) = x^4 - 4x^3.

Exponentielles et fonctions rationnelles

7. Pour f(x) = xe^{-x}, trouvez les extremums locaux, le point d'inflexion et l'asymptote horizontale.
8. Pour f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}, trouvez les extremums locaux et l'asymptote horizontale.
9. Pour f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 4}, trouvez les asymptotes, les intervalles de croissance et de décroissance, les extremums locaux et la convexité.

Tests et cas particuliers

10. Utilisez le test de la dérivée seconde pour classer les points critiques de f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x.
11. Une fonction vérifie f'(x) = (x - 1)^2(x + 2). Où f admet-elle des extremums locaux ?
12. Trouvez et classez le point critique de f(x) = x^{2/3}, et décrivez sa convexité.

Réponses

Solutions détaillées

1. Dérivez et annulez la dérivée :

2. Testez une valeur dans chaque intervalle :

3. En x = 0, f' passe de + à -, donc il y a un maximum local : f(0) = 0. En x = 2, f' passe de - à +, donc il y a un minimum local : f(2) = 8 - 12 = -4.

4. La dérivée seconde est f''(x) = 6x - 6, qui vaut 0 en x = 1. Elle est négative pour x < 1 et positive pour x > 1, donc la convexité change. Le point d'inflexion est (1, f(1)) = (1, -2).

5. Dérivez et factorisez :

Les points critiques sont x = 0 et x = 3. Comme 4x^2 \ge 0, le signe de f' est celui de x - 3 : négatif des deux côtés de 0 et positif après 3. Donc f décroît en passant par x = 0 sans changer de sens, et x = 0 n'est pas un extremum. En x = 3, le signe passe de - à +, ce qui donne un minimum local f(3) = 81 - 108 = -27.

6. La dérivée seconde est

Elle est positive sur (-\infty, 0), négative sur (0, 2) et positive sur (2, \infty). Elle change de signe en ses deux zéros, donc les points d'inflexion sont (0, 0) et (2, 16 - 32) = (2, -16).

7. Utilisez la règle du produit :

Comme e^{-x} > 0, f' a le signe de 1 - x : positif avant 1 et négatif après. Il y a donc un maximum local en \left(1, \frac{1}{e}\right). Dérivez à nouveau :

Elle change de signe en x = 2, donc le point d'inflexion est \left(2, \frac{2}{e^2}\right). Quand x\to\infty, xe^{-x} = \frac{x}{e^x}\to 0, donc y = 0 est une asymptote horizontale à droite.

8. Utilisez la règle du quotient :

Le dénominateur est toujours positif, donc le signe vient de 1 - x^2 : négatif pour x < -1, positif sur (-1, 1), négatif pour x > 1. On obtient un minimum local f(-1) = -\frac{1}{2} et un maximum local f(1) = \frac{1}{2}. Le degré du dénominateur est plus grand, donc y = 0 est l'asymptote horizontale.

9. Asymptotes. Le dénominateur x^2 - 4 s'annule en x = \pm 2 mais pas le numérateur, donc il y a des asymptotes verticales en x = -2 et x = 2. Les degrés sont égaux, donc l'asymptote horizontale est y = 1.

Variations. Utilisez la règle du quotient :

Le dénominateur est positif, donc f' > 0 pour x < 0 et f' < 0 pour x > 0. f est croissante sur (-\infty, -2) et (-2, 0), et décroissante sur (0, 2) et (2, \infty). Il y a un maximum local en (0, 0).

Convexité. En dérivant à nouveau et en simplifiant, on obtient

Le numérateur est toujours positif, donc le signe vient de (x^2 - 4)^3. f est convexe sur (-\infty, -2) et (2, \infty), et concave sur (-2, 2). La convexité ne change qu'aux asymptotes, où f n'est pas définie, donc il n'y a pas de point d'inflexion.

10. Trouvez les points critiques :

La dérivée seconde est f''(x) = 12x + 6.

• f''(-2) = -18 < 0 : maximum local, f(-2) = -16 + 12 + 24 = 20.
• f''(1) = 18 > 0 : minimum local, f(1) = 2 + 3 - 12 = -7.

11. Les points critiques sont x = 1 et x = -2. Le facteur (x - 1)^2 n'est jamais négatif, donc le signe de f' vient de x + 2. Il passe de - à + en x = -2 : c'est un minimum local. En x = 1, le signe reste + des deux côtés, donc il n'y a pas d'extremum.

12. La dérivée est

Elle ne vaut jamais 0, mais elle n'est pas définie en x = 0, où f est définie. Donc x = 0 est un point critique. f' < 0 pour x < 0 et f' > 0 pour x > 0, donc (0, 0) est un minimum local. La pente tend vers \pm\infty de chaque côté, ce qui forme une pointe appelée point de rebroussement. La dérivée seconde est f''(x) = -\frac{2}{9}x^{-4/3}, négative pour tout x \ne 0, donc la courbe est concave des deux côtés.

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Considérer chaque point critique comme un extremum. Dans les exercices 5 et 11, f' s'annule mais garde son signe, donc il n'y a ni maximum ni minimum.
• Oublier les points où f' n'est pas définie. L'exercice 12 n'a aucune solution à f'(x) = 0, mais il a quand même un minimum.
• Prendre une asymptote pour un point d'inflexion. Dans l'exercice 9, la convexité change en x = \pm 2, mais f n'y est pas définie.
• Ne donner que la valeur de x. Un maximum ou un minimum local est un point. Donnez aussi f(c), comme dans l'exercice 3.

Continuer à s'entraîner

Ces 12 exercices utilisent des fonctions fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles fonctions et une correction immédiate, essayez la leçon sur les points critiques, la leçon sur les variations et la leçon sur la dérivée seconde. Utilisez ensuite les mêmes outils sur des problèmes concrets avec les exercices d'optimisation.