Aufgaben zur Kurvendiskussion mit Lösungen und Lösungsweg

Diese Aufgaben zur Kurvendiskussion führen dich durch alles, was du brauchst, um einen Graphen mithilfe seiner Ableitungen zu skizzieren: kritische Punkte, Monotonieintervalle, lokale Extrema, Krümmungsverhalten, Wendepunkte und Asymptoten. Versuch jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen direkt nach der Liste, danach folgen die ausführlichen Lösungswege.

Was dir jede Ableitung verrät:

Eine ausführliche Anleitung findest du im Leitfaden zur Kurvendiskussion.

Aufgaben

Eine Funktion Schritt für Schritt: f(x) = x^3 - 3x^2

1. Bestimme die kritischen Punkte.
2. Bestimme, wo f steigt und wo die Funktion fällt.
3. Bestimme das lokale Maximum und das lokale Minimum.
4. Bestimme das Krümmungsverhalten und den Wendepunkt.

Kritische Punkte, die keine Extremstellen sind

5. Bestimme die lokalen Extrema von f(x) = x^4 - 4x^3.
6. Bestimme das Krümmungsverhalten und die Wendepunkte von f(x) = x^4 - 4x^3.

Exponentialfunktionen und gebrochenrationale Funktionen

7. Bestimme für f(x) = xe^{-x} die lokalen Extrema, den Wendepunkt und die waagerechte Asymptote.
8. Bestimme für f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1} die lokalen Extrema und die waagerechte Asymptote.
9. Bestimme für f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 4} die Asymptoten, die Monotonieintervalle, die lokalen Extrema und das Krümmungsverhalten.

Kriterien und Sonderfälle

10. Klassifiziere die kritischen Punkte von f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x mit der zweiten Ableitung.
11. Für eine Funktion gilt f'(x) = (x - 1)^2(x + 2). Wo hat f lokale Extrema?
12. Bestimme und klassifiziere den kritischen Punkt von f(x) = x^{2/3} und beschreibe das Krümmungsverhalten.

Lösungen

Lösungswege Schritt für Schritt

1. Leite ab und setze gleich null:

2. Teste in jedem Intervall eine Zahl:

3. Bei x = 0 wechselt f' von + nach -, also liegt ein lokales Maximum vor: f(0) = 0. Bei x = 2 wechselt f' von - nach +, also liegt ein lokales Minimum vor: f(2) = 8 - 12 = -4.

4. Die zweite Ableitung ist f''(x) = 6x - 6, und sie ist bei x = 1 gleich 0. Für x < 1 ist sie negativ und für x > 1 positiv, also ändert sich das Krümmungsverhalten. Der Wendepunkt ist (1, f(1)) = (1, -2).

5. Leite ab und faktorisiere:

Die kritischen Punkte sind x = 0 und x = 3. Wegen 4x^2 \ge 0 hat f' das Vorzeichen von x - 3: negativ auf beiden Seiten von 0 und positiv nach 3. Also fällt f durch x = 0 hindurch, ohne umzukehren, und x = 0 ist keine Extremstelle (dort liegt ein Sattelpunkt). Bei x = 3 wechselt das Vorzeichen von - nach +, das ergibt ein lokales Minimum f(3) = 81 - 108 = -27.

6. Die zweite Ableitung ist

Sie ist positiv auf (-\infty, 0), negativ auf (0, 2) und positiv auf (2, \infty). Sie wechselt an beiden Nullstellen das Vorzeichen, also sind die Wendepunkte (0, 0) und (2, 16 - 32) = (2, -16).

7. Nutze die Produktregel:

Wegen e^{-x} > 0 hat f' das Vorzeichen von 1 - x: positiv vor 1 und negativ danach. Also liegt ein lokales Maximum bei \left(1, \frac{1}{e}\right). Leite noch einmal ab:

Sie wechselt bei x = 2 das Vorzeichen, also ist der Wendepunkt \left(2, \frac{2}{e^2}\right). Für x\to\infty gilt xe^{-x} = \frac{x}{e^x}\to 0, also ist y = 0 rechts eine waagerechte Asymptote.

8. Nutze die Quotientenregel:

Der Nenner ist immer positiv, also bestimmt 1 - x^2 das Vorzeichen: negativ für x < -1, positiv auf (-1, 1), negativ für x > 1. Das ergibt ein lokales Minimum f(-1) = -\frac{1}{2} und ein lokales Maximum f(1) = \frac{1}{2}. Der Nennergrad ist größer, also ist y = 0 die waagerechte Asymptote.

9. Asymptoten. Der Nenner x^2 - 4 ist bei x = \pm 2 null, der Zähler dort nicht, also gibt es senkrechte Asymptoten bei x = -2 und x = 2. Zähler- und Nennergrad sind gleich, also ist die waagerechte Asymptote y = 1.

Monotonie. Nutze die Quotientenregel:

Der Nenner ist positiv, also gilt f' > 0 für x < 0 und f' < 0 für x > 0. f ist steigend auf (-\infty, -2) und (-2, 0) und fallend auf (0, 2) und (2, \infty). Bei (0, 0) liegt ein lokales Maximum.

Krümmungsverhalten. Erneutes Ableiten und Vereinfachen ergibt

Der Zähler ist immer positiv, also bestimmt (x^2 - 4)^3 das Vorzeichen. f ist linksgekrümmt auf (-\infty, -2) und (2, \infty) und rechtsgekrümmt auf (-2, 2). Die Krümmung ändert sich nur an den Asymptoten, wo f nicht definiert ist, also gibt es keine Wendepunkte.

10. Bestimme die kritischen Punkte:

Die zweite Ableitung ist f''(x) = 12x + 6.

• f''(-2) = -18 < 0: lokales Maximum, f(-2) = -16 + 12 + 24 = 20.
• f''(1) = 18 > 0: lokales Minimum, f(1) = 2 + 3 - 12 = -7.

11. Die kritischen Punkte sind x = 1 und x = -2. Der Faktor (x - 1)^2 ist nie negativ, also bestimmt x + 2 das Vorzeichen von f'. Es wechselt bei x = -2 von - nach +, also liegt dort ein lokales Minimum. Bei x = 1 bleibt das Vorzeichen auf beiden Seiten +, dort gibt es also keine Extremstelle.

12. Die Ableitung ist

Sie ist nie 0, aber bei x = 0 nicht definiert, obwohl f dort definiert ist. Also ist x = 0 ein kritischer Punkt. Es gilt f' < 0 für x < 0 und f' > 0 für x > 0, also ist (0, 0) ein lokales Minimum. Die Steigung geht auf beiden Seiten gegen \pm\infty, dadurch entsteht eine scharfe Spitze. Die zweite Ableitung ist f''(x) = -\frac{2}{9}x^{-4/3}, und sie ist für jedes x \ne 0 negativ, also ist der Graph auf beiden Seiten rechtsgekrümmt.

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Jeden kritischen Punkt für eine Extremstelle halten. In den Aufgaben 5 und 11 ist f' null, behält aber das Vorzeichen, also gibt es kein Maximum und kein Minimum.
• Stellen vergessen, an denen f' nicht definiert ist. In Aufgabe 12 hat f'(x) = 0 keine Lösung, trotzdem gibt es ein Minimum.
• Eine Asymptote für einen Wendepunkt halten. In Aufgabe 9 ändert sich das Krümmungsverhalten bei x = \pm 2, aber f ist dort nicht definiert.
• Nur den x-Wert angeben. Ein lokales Maximum oder Minimum ist ein Punkt. Gib auch f(c) an, wie in Aufgabe 3.

Weiter üben

Diese 12 Aufgaben haben feste Funktionen. Für unbegrenzte Übung mit neuen Funktionen und sofortigem Feedback probier die Lektion zu kritischen Punkten, die Lektion zu Monotonie und die Lektion zur zweiten Ableitung. Wende dieselben Werkzeuge dann in Textaufgaben an, mit den Aufgaben zu Extremwertproblemen.