Parameterkurven und Polarkoordinaten: Aufgaben mit Lösungen

Diese Aufgaben zu Parameterkurven und Polarkoordinaten behandeln Steigungen, Tangenten, zweite Ableitungen und Bogenlängen von Parameterkurven, danach das Umrechnen, Steigungen und Flächen in Polarkoordinaten. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Zuerst kommen die Ergebnisse, dann die vollständigen Lösungen.

Die wichtigsten Formeln:

Aufgaben

Parameterkurven

1. Bestimme für x = t^2, y = t^3 die Ableitung \frac{dy}{dx} und ihren Wert bei t = 2.
2. Bestimme die Tangente an die Kurve aus Aufgabe 1 bei t = 2.
3. Eliminiere den Parameter: x = 2\cos t, y = 3\sin t.
4. Bestimme für x = t^2, y = t^3 die zweite Ableitung \frac{d^2y}{dx^2}.
5. Bestimme die Punkte, in denen x = t^2 - 1, y = t^3 - 3t eine waagerechte Tangente hat.
6. Bestimme die Bogenlänge von x = t^2, y = \frac{2}{3}t^3 für 0 \le t \le 1.

Polarkoordinaten

7. Rechne den Punkt (r, \theta) = \left(4, \frac{\pi}{3}\right) in kartesische Koordinaten um.
8. Rechne r = 4\sin\theta in eine kartesische Gleichung um und beschreibe die Kurve.
9. Bestimme die Steigung \frac{dy}{dx} von r = 1 + \cos\theta bei \theta = \frac{\pi}{2}.

Fläche in Polarkoordinaten

10. Bestimme die Fläche innerhalb von r = 2\cos\theta.
11. Bestimme die Fläche eines Blatts von r = \cos(2\theta).
12. Bestimme die Fläche innerhalb der Kardioide r = 1 + \cos\theta.

Ergebnisse

Lösungen Schritt für Schritt

1. \frac{dx}{dt} = 2t und \frac{dy}{dt} = 3t^2:

2. Bei t = 2 ist der Punkt (4, 8) und die Steigung 3: y - 8 = 3(x - 4), also y = 3x - 4.

3. \cos t = \frac{x}{2} und \sin t = \frac{y}{3}. Verwende \cos^2 t + \sin^2 t = 1:

Das ist eine Ellipse.

4. Leite \frac{dy}{dx} = \frac{3t}{2} nach t ab, das ergibt \frac{3}{2}, und teile dann durch \frac{dx}{dt} = 2t:

5. \frac{dy}{dt} = 3t^2 - 3 = 0 bei t = \pm 1, und dort ist \frac{dx}{dt} = 2t \neq 0. Bei t = 1: (0, -2). Bei t = -1: (0, 2).

6. \frac{dx}{dt} = 2t und \frac{dy}{dt} = 2t^2, die Bahngeschwindigkeit ist also \sqrt{4t^2 + 4t^4} = 2t\sqrt{1 + t^2} für t \ge 0. Mit u = 1 + t^2:

7. x = 4\cos\frac{\pi}{3} = 2 und y = 4\sin\frac{\pi}{3} = 2\sqrt{3}.

8. Multipliziere beide Seiten mit r: r^2 = 4r\sin\theta, also x^2 + y^2 = 4y. Quadratische Ergänzung:

Ein Kreis mit Radius 2 und Mittelpunkt (0, 2).

9. Verwende x = r\cos\theta, y = r\sin\theta mit r' = -\sin\theta. Bei \theta = \frac{\pi}{2} ist r = 1 und r' = -1.

Also \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{-1} = 1.

10. Der Kreis wird für -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} genau einmal durchlaufen:

Das passt zu einem Kreis mit Radius 1.

11. Ein Blatt reicht von \theta = -\frac{\pi}{4} bis \frac{\pi}{4}, dort ist \cos 2\theta \ge 0. Verwende \cos^2 2\theta = \frac{1 + \cos 4\theta}{2}:

12. Multipliziere (1 + \cos\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta aus. Über [0, 2\pi] liefern die Summanden die Integrale 2\pi, 0 und \pi:

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Zweite Ableitungen dividieren. In Aufgabe 4 ist \frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2} = \frac{6t}{2} = 3t falsch.
• \frac{dr}{d\theta} als Steigung nehmen. In Aufgabe 9 ist r' = -1, aber die Steigung der Kurve ist 1.
• Grenzen, bei denen die Kurve zweimal durchlaufen wird. r = 2\cos\theta auf [0, 2\pi] läuft zweimal herum und liefert 2\pi.
• Das \frac{1}{2} vergessen. Die Fläche in Polarkoordinaten ist \frac{1}{2}\int r^2\,d\theta, nicht \int r\,d\theta.

Weiter üben

Für unbegrenzt viele Aufgaben mit sofortigem Feedback probiere die Lektion zu Parameterkurven, die Lektion zur Bogenlänge von Parameterkurven, die Lektion zu Steigungen in Polarkoordinaten und die Lektion zur Fläche in Polarkoordinaten.