Ejercicios resueltos de curvas paramétricas y coordenadas polares

Estos ejercicios de paramétricas y polares cubren pendientes, rectas tangentes, segundas derivadas y longitud de arco de curvas paramétricas, y luego cambio de coordenadas, pendientes y áreas en coordenadas polares. Intenta cada uno primero. Primero van las respuestas y después las soluciones completas.

Las fórmulas clave:

Ejercicios

Curvas paramétricas

1. Para x = t^2, y = t^3, halla \frac{dy}{dx} y su valor en t = 2.
2. Halla la recta tangente a la curva del ejercicio 1 en t = 2.
3. Elimina el parámetro: x = 2\cos t, y = 3\sin t.
4. Para x = t^2, y = t^3, halla \frac{d^2y}{dx^2}.
5. Halla los puntos donde x = t^2 - 1, y = t^3 - 3t tiene tangente horizontal.
6. Halla la longitud de arco de x = t^2, y = \frac{2}{3}t^3 para 0 \le t \le 1.

Coordenadas polares

7. Pasa el punto polar (r, \theta) = \left(4, \frac{\pi}{3}\right) a coordenadas cartesianas.
8. Pasa r = 4\sin\theta a ecuación cartesiana y describe la curva.
9. Halla la pendiente \frac{dy}{dx} de r = 1 + \cos\theta en \theta = \frac{\pi}{2}.

Áreas en polares

10. Halla el área encerrada por r = 2\cos\theta.
11. Halla el área de un pétalo de r = \cos(2\theta).
12. Halla el área encerrada por la cardioide r = 1 + \cos\theta.

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. \frac{dx}{dt} = 2t y \frac{dy}{dt} = 3t^2:

2. En t = 2 el punto es (4, 8) y la pendiente es 3: y - 8 = 3(x - 4), así que y = 3x - 4.

3. \cos t = \frac{x}{2} y \sin t = \frac{y}{3}. Usa \cos^2 t + \sin^2 t = 1:

Es una elipse.

4. Deriva \frac{dy}{dx} = \frac{3t}{2} respecto de t para obtener \frac{3}{2}, y luego divide entre \frac{dx}{dt} = 2t:

5. \frac{dy}{dt} = 3t^2 - 3 = 0 en t = \pm 1, y ahí \frac{dx}{dt} = 2t \neq 0. En t = 1: (0, -2). En t = -1: (0, 2).

6. \frac{dx}{dt} = 2t y \frac{dy}{dt} = 2t^2, así que la rapidez es \sqrt{4t^2 + 4t^4} = 2t\sqrt{1 + t^2} para t \ge 0. Con u = 1 + t^2:

7. x = 4\cos\frac{\pi}{3} = 2 e y = 4\sin\frac{\pi}{3} = 2\sqrt{3}.

8. Multiplica ambos lados por r: r^2 = 4r\sin\theta, así que x^2 + y^2 = 4y. Completa el cuadrado:

Una circunferencia de radio 2 con centro en (0, 2).

9. Usa x = r\cos\theta, y = r\sin\theta con r' = -\sin\theta. En \theta = \frac{\pi}{2}: r = 1 y r' = -1.

Así que \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{-1} = 1.

10. La circunferencia se recorre una vez para -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}:

Coincide con el área de un círculo de radio 1.

11. Un pétalo va de \theta = -\frac{\pi}{4} a \frac{\pi}{4}, donde \cos 2\theta \ge 0. Usa \cos^2 2\theta = \frac{1 + \cos 4\theta}{2}:

12. Desarrolla (1 + \cos\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta. En [0, 2\pi], estos términos integran 2\pi, 0 y \pi:

Errores comunes en estos ejercicios

• Dividir segundas derivadas. En el ejercicio 4, \frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2} = \frac{6t}{2} = 3t es incorrecto.
• Usar \frac{dr}{d\theta} como pendiente. En el ejercicio 9, r' = -1 pero la pendiente de la curva es 1.
• Límites que recorren la curva dos veces. r = 2\cos\theta en [0, 2\pi] da dos vueltas y da 2\pi.
• Olvidar el \frac{1}{2}. El área en polares es \frac{1}{2}\int r^2\,d\theta, no \int r\,d\theta.

Sigue practicando

Para practicar sin límite con corrección al instante, prueba la lección de curvas paramétricas, la lección de longitud de arco paramétrica, la lección de pendientes en polares y la lección de áreas en polares.