Logaritmo natural ln(x): gráfico, propriedades, derivada e integral

O logaritmo natural \ln x responde à pergunta "a qual potência devo elevar e para obter x?". Ele é a inversa da função exponencial natural, e sua derivada é a surpreendentemente simples \frac{1}{x}, o que faz dele o logaritmo preferido no cálculo.

Definição e fórmula

De forma equivalente, \ln x é a área sob o gráfico da função recíproca de 1 até x:

Gráfico de ln x

Propriedades principais

• Domínio (0, \infty), imagem todos os números reais.
• Valores importantes: \ln 1 = 0, \ln e = 1, \ln e^k = k.
• Crescente em todo o domínio (\frac{1}{x} > 0) e com concavidade para baixo (-\frac{1}{x^2} < 0).
• Assíntota vertical x = 0: \lim_{x \to 0^+}\ln x = -\infty. Além disso, \lim_{x \to \infty}\ln x = \infty, mas muito lentamente; \ln x cresce mais devagar que qualquer potência positiva de x.
• Identidades da inversa: e^{\ln x} = x para x > 0 e \ln e^x = x para todo x.

Propriedades dos logaritmos

Elas valem para a, b > 0. Não existe propriedade para \ln(a + b).

Derivada de ln x

Esboço da demonstração: se y = \ln x, então e^y = x. Derivando implicitamente, obtemos e^y y' = 1, logo y' = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}. Com a regra da cadeia:

Integral de ln x

Usando integração por partes com u = \ln x, dv = dx, de modo que du = \frac{1}{x}\,dx e v = x:

O caminho inverso é o mais comum: \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: regra da cadeia. \frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1}.

Exemplo 2: simplifique antes. \frac{d}{dx}\ln\frac{x^3}{x + 1} = \frac{d}{dx}\left[3\ln x - \ln(x + 1)\right] = \frac{3}{x} - \frac{1}{x + 1}.

Exemplo 3: regra do produto. \frac{d}{dx}(x^2\ln x) = 2x\ln x + x.

Exemplo 4: integral definida. \int_1^e \ln x\,dx = \left[x\ln x - x\right]_1^e = (e - e) - (0 - 1) = 1.

Exemplo 5: integral que resulta em logaritmo. Com u = x^2 + 4, \int \frac{2x}{x^2 + 4}\,dx = \ln(x^2 + 4) + C. Não é preciso módulo, pois x^2 + 4 > 0.

Erros comuns

1. Separar o logaritmo de uma soma. \ln(x + 1) \ne \ln x + \ln 1.
2. Escrever \frac{d}{dx}\ln(5x) = \frac{1}{5x}. A regra da cadeia dá \frac{5}{5x} = \frac{1}{x}.
3. Escrever \int \ln x\,dx = \frac{1}{x} + C. Isso é a derivada, não a integral.
4. Confundir \ln x^2 com (\ln x)^2. O primeiro é 2\ln x; o segundo é um quadrado.
5. Calcular \ln de 0 ou de um número negativo. Verifique o domínio, principalmente depois de uma substituição.

Como se conecta

Aplicar \ln aos dois lados transforma produtos e potências complicados em somas, a ideia por trás da derivação logarítmica. Logaritmos em outras bases são apenas logaritmos naturais multiplicados por uma constante; veja funções logarítmicas. Para praticar mais com exemplos resolvidos, leia o guia de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas.