Funções Logarítmicas log_b(x): Gráficos, Propriedades, Derivada

Uma função logarítmica \log_b x devolve o expoente que a base b precisa ter para produzir x. Por exemplo, \log_2 8 = 3 porque 2^3 = 8. Os logaritmos desfazem as funções exponenciais e, no cálculo, todo logaritmo é um múltiplo constante do logaritmo natural.

Definição e fórmula

Bases comuns: \log_{10}x (o logaritmo decimal, muitas vezes escrito \log x), \ln x = \log_e x e \log_2 x na computação.

Gráficos de funções logarítmicas

Propriedades principais

• Domínio (0, \infty), imagem todos os reais.
• Passa por (1, 0) e (b, 1) para qualquer base.
• Assíntota vertical x = 0.
• Crescente se b > 1, decrescente se 0 < b < 1.
• Inversa de b^x: b^{\log_b x} = x para x > 0 e \log_b(b^x) = x para todo x. O gráfico é o de b^x refletido em relação à reta y = x.
• Crescimento lento: para b > 1, \log_b x \to \infty, mas mais devagar que qualquer potência positiva de x.

Propriedades dos logaritmos

Para x, y > 0:

Derivada de log_b x

A mudança de base transforma esta função em um múltiplo constante de \ln x:

Com a regra da cadeia, \frac{d}{dx}\log_b g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)\ln b}. Quando b = e, temos \ln e = 1 e recuperamos \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}.

Integral de log_b x

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: calcular. \log_3 81 = 4 porque 3^4 = 81, e \log_2\frac{1}{8} = -3 porque 2^{-3} = \frac{1}{8}.

Exemplo 2: derivada. \frac{d}{dx}\log_{10}x = \frac{1}{x\ln 10}. Em x = 10, a inclinação é \frac{1}{10\ln 10} \approx 0.0434.

Exemplo 3: regra da cadeia. \frac{d}{dx}\log_2(x^2 + 1) = \frac{2x}{(x^2 + 1)\ln 2}.

Exemplo 4: use primeiro as propriedades dos logaritmos. \frac{d}{dx}\log_5\left(x^3\sqrt{x}\right) = \frac{d}{dx}\tfrac{7}{2}\log_5 x = \frac{7}{2x\ln 5}.

Exemplo 5: resolvendo uma equação exponencial. Para resolver 2^x = 10, aplique \log_2 aos dois lados: x = \log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3.32.

Erros comuns

1. Esquecer o \ln b na derivada. \frac{d}{dx}\log_{10}x \ne \frac{1}{x}.
2. Separar o logaritmo de uma soma. \log_b(x + y) \ne \log_b x + \log_b y.
3. Escrever \frac{\log_b x}{\log_b y} = \log_b(x - y). A propriedade do quociente vale para o logaritmo de um quociente, e não para um quociente de logaritmos.
4. Inverter a mudança de base. O correto é \frac{\ln x}{\ln b}, e não \frac{\ln b}{\ln x}.

Como se conecta

Os logaritmos transformam equações exponenciais em equações lineares e produtos em somas, a ideia por trás da derivação logarítmica. Eles também aparecem na integral de \frac{1}{x} e em muitas integrais impróprias. Para ver as regras de derivação lado a lado com as das exponenciais, leia o guia de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas.