Integral von 1/x: Formel, Herleitung und Beispiele

Das Integral von \dfrac{1}{x} ist \ln\lvert x\rvert + C. Es ist die einzige Potenz von x, die die Potenzregel für Integrale nicht erfasst, und der natürliche Logarithmus schließt diese Lücke.

Graph von 1/x und seiner Stammfunktion

Rechts ist \frac{1}{x} > 0 und \ln x steigt. Links ist \frac{1}{x} < 0 und \ln\lvert x\rvert fällt, wenn du nach rechts gehst. In beiden Fällen passen die Steigungen zu den Funktionswerten.

Warum die Potenzregel versagt

Die Potenzregel für Integrale besagt \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C. Für \frac{1}{x} = x^{-1} ergäbe das \frac{x^0}{0}, und das ist nicht definiert. Keine Potenz von x hat die Ableitung x^{-1}, denn die Ableitung von x^0 = 1 ist 0.

Die Funktion, die tatsächlich die Ableitung \frac{1}{x} hat, ist der natürliche Logarithmus. Auf der Seite zur Ableitung von ln x wird bewiesen, dass \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x} für x > 0 gilt.

Woher der Betrag kommt

Für x < 0 ist \ln x nicht definiert, \ln(-x) aber schon. Leite es mit der Kettenregel ab:

Also funktioniert \ln x für x > 0 und \ln(-x) für x < 0. Zusammen ergibt das \ln\lvert x\rvert.

Probe durch Ableiten

Für x > 0: \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}. Für x < 0: \frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{1}{x}. Beide liefern \frac{1}{x}, also gilt \frac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \frac{1}{x} für alle x \ne 0.

Varianten mit Substitution

Mit u = ax + b:

Allgemeiner gilt: Immer wenn der Zähler die Ableitung des Nenners ist, ist das Ergebnis ein Logarithmus (logarithmische Integration):

Dieses eine Muster liefert das Integral von tan x, das Integral von cot x und das Integral von x/(x² + 1).

Rechenbeispiele

Beispiel 1. \int \frac{5}{x}\,dx = 5\ln\lvert x\rvert + C.

Beispiel 2. \int \frac{1}{3x - 2}\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert 3x - 2\rvert + C.

Beispiel 3. \int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x}\,dx = \ln\lvert x^2 + 3x\rvert + C, weil der Zähler die Ableitung des Nenners ist.

Beispiel 4: bestimmt, positive Seite. \int_1^2 \frac{1}{x}\,dx = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \approx 0.693.

Beispiel 5: bestimmt, negative Seite. \int_{-3}^{-1} \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert -1\rvert - \ln\lvert -3\rvert = -\ln 3. Das Ergebnis ist negativ, weil die Kurve dort unterhalb der Achse liegt.

Häufige Fehler

1. Die Potenzregel verwenden. \frac{x^0}{0} ist sinnlos. Nimm \ln\lvert x\rvert.
2. Den Betrag weglassen, wenn x negativ sein kann.
3. Über die 0 hinweg integrieren. \int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx ist nicht \ln 1 - \ln 1 = 0. Das Integral divergiert.
4. Mit \frac{1}{x^2} verwechseln. \int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C, kein Logarithmus. Siehe Integral von 1/x².
5. Den Faktor \frac{1}{a} vergessen in \int \frac{1}{ax + b}\,dx.

Ein Integral mit Logarithmus, das in die andere Richtung geht, findest du beim Integral von ln x.