Integral de 1/x²: fórmula, dedução e exemplos

A integral de \dfrac{1}{x^2} é -\dfrac{1}{x} + C. Ao contrário de \frac{1}{x}, esta se resolve com a regra da potência inversa comum.

Gráfico de 1/x² e a área sob ele

Dedução, passo a passo

1. Reescreva como potência: \frac{1}{x^2} = x^{-2}.
2. Aplique a regra da potência inversa com n = -2.
3. Some um ao expoente: -2 + 1 = -1.
4. Divida por -1: \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}.
5. Some C.

Verificação por derivação

A regra no sentido direto está na página da derivada de 1/x², e a página da derivada de 1/x mostra que \frac{d}{dx}\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}, que é o mesmo fato lido ao contrário.

Integrais impróprias

A área sob \frac{1}{x^2} até o infinito é finita:

Compare com \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx, que diverge porque \ln b \to \infty. Esse contraste é o ponto de partida do critério p para integrais e séries. A lição sobre limites de integração infinitos trata disso em detalhe.

Perto de zero a história se inverte: \int_0^1 \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{a\to 0^+}\left(\frac{1}{a} - 1\right) = \infty.

A armadilha clássica: integrar passando pelo zero

Substituir na primitiva dá

Mas \frac{1}{x^2} é positivo em todo ponto, então sua integral não pode ser negativa. O erro é que \frac{1}{x^2} tem uma assíntota vertical em x = 0, e assim o Teorema Fundamental do Cálculo não se aplica em [-1, 1]. Divida a integral em 0: cada metade diverge, então a integral toda diverge.

Variante por substituição

Com u = ax + b:

Por exemplo, \int \frac{1}{(2x + 1)^2}\,dx = -\frac{1}{2(2x + 1)} + C. Verificação: a derivada é \frac{1}{2}(2x + 1)^{-2}\cdot 2 = \frac{1}{(2x + 1)^2}.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1. \int \frac{3}{x^2}\,dx = -\frac{3}{x} + C.

Exemplo 2. \int \frac{x + 1}{x^2}\,dx = \int\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)dx = \ln\lvert x\rvert - \frac{1}{x} + C. Separe primeiro e depois use a integral de 1/x na primeira parte.

Exemplo 3. \int_2^4 \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.

Exemplo 4. \int \frac{1}{x^3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C.

Erros comuns

1. Escrever \ln(x^2). O logaritmo só aparece para \frac{1}{x}.
2. Escrever -\frac{1}{x^3} ou \frac{1}{x}. O expoente aumenta em um (-2 \to -1), e você divide por -1, o que troca o sinal.
3. Integrar passando por uma assíntota. Sempre verifique se há divisão por zero dentro do intervalo.
4. Escrever \frac{1}{3x^3} tratando \frac{1}{x^2} como (x^2) e integrando isso. Reescreva como x^{-2} primeiro.

Pratique o caso infinito com os exercícios de integrais impróprias.