Integral de sec² x: fórmula, deducción y ejemplos
La integral de sec² x es tan x + C. Por qué sale de la derivada de tan x, la forma sec²(ax), integrales relacionadas como tan² x y csc² x, y ejemplos.
Integrales trigonométricas Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Antiderivada
- \tan x + C
- También se escribe
- \int\dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C
- Forma lineal
- \int\sec^2(ax + b)\,dx = \dfrac{1}{a}\tan(ax + b) + C
- Pareja con cosecante
- \int\csc^2 x\,dx = -\cot x + C
- De 0 a π/4
- 1
En esta página
La integral de \sec^2 x es \tan x + C. Es la inversión directa de la derivada de \tan x, así que no hay nada que calcular, solo un hecho que reconocer.
Gráfica de sec² x y su antiderivada
El valor mínimo de \sec^2 x es 1, en x = 0. Coincide con la pendiente de \tan x en el origen.
Deducción
- Recuerda la derivada de tan x: \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x.
- Así que \tan x es una antiderivada de \sec^2 x.
- Añade C: \int\sec^2 x\,dx = \tan x + C.
Si has olvidado por qué \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x, aplica la regla del cociente a \frac{\sin x}{\cos x}:
Comprobación derivando
Integrales definidas
Cualquier intervalo que llegue a \pm\frac{\pi}{2} da una integral impropia divergente, porque \tan x \to \infty.
Variantes por sustitución
Ejemplo 1. \int\sec^2(5x)\,dx = \frac{1}{5}\tan(5x) + C.
Ejemplo 2. \int x\sec^2(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\tan(x^2) + C, con u = x^2.
Ejemplo 3. \int\sec^2 x\,e^{\tan x}\,dx = e^{\tan x} + C, con u = \tan x.
Ejemplo 4. \int\frac{\sec^2 x}{\tan x}\,dx = \ln\lvert\tan x\rvert + C, ya que el numerador es la derivada del denominador.
Integrales relacionadas
Las integrales trigonométricas de "cuadrados" y "productos" salen directamente de las seis derivadas trigonométricas:
| Integral | Resultado | Viene de |
|---|---|---|
| \int\sec^2 x\,dx | \tan x + C | (\tan x)' = \sec^2 x |
| \int\csc^2 x\,dx | -\cot x + C | (\cot x)' = -\csc^2 x |
| \int\sec x\tan x\,dx | \sec x + C | (\sec x)' = \sec x\tan x |
| \int\csc x\cot x\,dx | -\csc x + C | (\csc x)' = -\csc x\cot x |
| \int\tan^2 x\,dx | \tan x - x + C | \tan^2 x = \sec^2 x - 1 |
La última fila se resuelve en la página de la integral de tan² x, y la tercera en la de la integral de sec x tan x.
Ejemplo resuelto: dos respuestas correctas
Calcula \int\sec^2 x\tan x\,dx.
- Con u = \tan x, du = \sec^2 x\,dx: el resultado es \frac{\tan^2 x}{2} + C.
- Con u = \sec x, du = \sec x\tan x\,dx: el integrando es \sec x\cdot(\sec x\tan x), así que el resultado es \frac{\sec^2 x}{2} + C.
Las dos son correctas. Como \sec^2 x = \tan^2 x + 1, los dos resultados solo difieren en la constante \frac{1}{2}, que queda absorbida por C.
Errores comunes
- Usar la regla de la potencia: \frac{\sec^3 x}{3}. La regla de la potencia necesita que esté presente la derivada del interior, \sec x\tan x. No lo está.
- Responder 2\sec x\cdot\sec x\tan x. Esa es la derivada de \sec^2 x.
- Confundirla con \int\sec x\,dx. Esa vale \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C. Consulta la integral de sec x.
- Olvidar dividir entre a en \int\sec^2(ax)\,dx.
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