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Intégrales trigonométriques

Intégrale de sec² x (1/cos² x) : formule et exemples

L'intégrale de sec² x = 1/cos² x vaut tan x + C. Pourquoi cela découle de la dérivée de tan x, la forme sec²(ax), tan² x, csc² x et des exemples.

Intégrales trigonométriques Mis à jour Lecture : 3 min

En bref

\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C
Primitive
\tan x + C
Aussi écrit
\int\dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C
Forme affine
\int\sec^2(ax + b)\,dx = \dfrac{1}{a}\tan(ax + b) + C
Version cosécante
\int\csc^2 x\,dx = -\cot x + C
De 0 à π/4
1
Sur cette page
  1. Graphique de sec² x et de sa primitive
  2. Démonstration
  3. Vérification par dérivation
  4. Intégrales définies
  5. Variantes par changement de variable
  6. Intégrales voisines
  7. Exemple corrigé : deux réponses correctes
  8. Erreurs fréquentes

L'intégrale de \sec^2 x est \tan x + C. Ici sec² x désigne 1/cos² x, que l'on écrit aussi 1 + tan² x. C'est simplement la dérivée de \tan x lue à l'envers : il n'y a rien à calculer, seulement un résultat à reconnaître.

\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C

Graphique de sec² x et de sa primitive

Aire sous y = sec² x de 0 à π/4, avec la primitive y = tan x
L'aire hachurée vaut \tan\frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1. La courbe en pointillés y = \tan x est la plus raide là où \sec^2 x est la plus grande, près des asymptotes.

La plus petite valeur de \sec^2 x est 1, en x = 0. Cela correspond à la pente de \tan x à l'origine.

Démonstration

  1. Se rappeler la dérivée de tan x : \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x.
  2. Donc \tan x est une primitive de \sec^2 x.
  3. Ajouter C : \int\sec^2 x\,dx = \tan x + C.

Si vous avez oublié pourquoi \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x, appliquez la règle du quotient à \frac{\sin x}{\cos x} :

\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x

Vérification par dérivation

\frac{d}{dx}(\tan x + C) = \sec^2 x \checkmark

Intégrales définies

\int_0^{\pi/4}\sec^2 x\,dx = 1, \qquad \int_0^{\pi/3}\sec^2 x\,dx = \sqrt{3}, \qquad \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\sec^2 x\,dx = 2

Tout intervalle qui atteint \pm\frac{\pi}{2} donne une intégrale impropre divergente, car \tan x \to \infty.

Variantes par changement de variable

\int\sec^2(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\tan(ax + b) + C

Exemple 1. \int\sec^2(5x)\,dx = \frac{1}{5}\tan(5x) + C.

Exemple 2. \int x\sec^2(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\tan(x^2) + C, avec u = x^2.

Exemple 3. \int\sec^2 x\,e^{\tan x}\,dx = e^{\tan x} + C, avec u = \tan x.

Exemple 4. \int\frac{\sec^2 x}{\tan x}\,dx = \ln\lvert\tan x\rvert + C, car le numérateur est la dérivée du dénominateur.

Intégrales voisines

Les intégrales trigonométriques « carrés » et « produits » découlent directement des dérivées trigonométriques :

Intégrale Résultat Provient de
\int\sec^2 x\,dx \tan x + C (\tan x)' = \sec^2 x
\int\csc^2 x\,dx -\cot x + C (\cot x)' = -\csc^2 x
\int\sec x\tan x\,dx \sec x + C (\sec x)' = \sec x\tan x
\int\csc x\cot x\,dx -\csc x + C (\csc x)' = -\csc x\cot x
\int\tan^2 x\,dx \tan x - x + C \tan^2 x = \sec^2 x - 1

La dernière ligne est détaillée sur la page intégrale de tan² x, et la troisième sur la page intégrale de sec x tan x.

Exemple corrigé : deux réponses correctes

Calculer \int\sec^2 x\tan x\,dx.

  • Avec u = \tan x, du = \sec^2 x\,dx : le résultat est \frac{\tan^2 x}{2} + C.
  • Avec u = \sec x, du = \sec x\tan x\,dx : la fonction s'écrit \sec x\cdot(\sec x\tan x), donc le résultat est \frac{\sec^2 x}{2} + C.

Les deux sont justes. Comme \sec^2 x = \tan^2 x + 1, les deux réponses ne diffèrent que de la constante \frac{1}{2}, que C absorbe.

Erreurs fréquentes

  1. Utiliser la règle de la puissance : \frac{\sec^3 x}{3}. La règle de la puissance exige que la dérivée de l'intérieur, \sec x\tan x, soit présente. Elle ne l'est pas.
  2. Répondre 2\sec x\cdot\sec x\tan x. C'est la dérivée de \sec^2 x.
  3. La confondre avec \int\sec x\,dx. Celle-ci vaut \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C. Voir l'intégrale de sec x.
  4. Oublier de diviser par a dans \int\sec^2(ax)\,dx.

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Questions fréquentes

Quelle est l'intégrale de sec² x ?
L'intégrale de \sec^2 x est \tan x + C.

Quelle est l'intégrale de 1/cos² x ?
Comme \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x, c'est \tan x + C.

Quelle est l'intégrale de sec²(3x) ?
C'est \frac{1}{3}\tan(3x) + C.

Quelle est l'intégrale de sec² x tan x ?
Avec u = \tan x, c'est \frac{\tan^2 x}{2} + C. Avec u = \sec x, on obtient \frac{\sec^2 x}{2} + C. Les deux sont correctes, car elles diffèrent de la constante \frac{1}{2}.

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