Intégrale de sin x : formule, démonstration et exemples
L'intégrale de sin x vaut -cos x + C. D'où vient le signe moins, l'aire d'une arche, sin(ax + b) par changement de variable et des intégrales définies.
Intégrales trigonométriques Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- Primitive
- -\cos x + C
- Aire d''une arche
- \int_0^\pi \sin x\,dx = 2
- Période complète
- \int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0
- Forme affine
- \int\sin(ax + b)\,dx = -\dfrac{1}{a}\cos(ax + b) + C
- Vérification
- \dfrac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x
Sur cette page
L'intégrale de \sin x est -\cos x + C. La plupart des erreurs sur cette intégrale se résument à une seule chose : le signe moins.
Graphique de sin x et de sa primitive
Là où \sin x > 0 (de 0 à \pi), la primitive -\cos x monte. Là où \sin x < 0 (de \pi à 2\pi), elle redescend.
Démonstration pas à pas
- Se demander : quelle fonction a pour dérivée \sin x ?
- Se rappeler la dérivée de cos x : \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x.
- La forme est bonne mais le signe est faux. On multiplie par -1 : \frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x.
- Donc -\cos x est une primitive, et en ajoutant C on les obtient toutes.
Un moyen mnémotechnique : parcourir le cycle \sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin, c'est dériver. Le parcourir à l'envers, c'est intégrer.
Vérification par dérivation
Intégrales définies
Avec le théorème fondamental de l'analyse :
D'autres valeurs utiles :
| Intégrale | Valeur | Pourquoi |
|---|---|---|
| \int_0^{\pi/2}\sin x\,dx | 1 | -\cos\frac{\pi}{2} + \cos 0 = 0 + 1 |
| \int_0^{\pi}\sin x\,dx | 2 | une arche complète |
| \int_0^{2\pi}\sin x\,dx | 0 | les deux arches se compensent |
| \int_{-a}^{a}\sin x\,dx | 0 | \sin x est impaire |
Si vous voulez l'aire totale sur [0, 2\pi] plutôt que l'aire algébrique, intégrez \lvert\sin x\rvert : vous obtenez 4.
Variantes par changement de variable
Avec u = ax + b, du = a\,dx :
Ainsi \int\sin(5x)\,dx = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C et \int\sin\left(\frac{x}{2}\right)dx = -2\cos\left(\frac{x}{2}\right) + C. Pour \sin(2x), il existe une page entière : l'intégrale de sin 2x.
Quand la dérivée de l'intérieur est présente, on fait un changement de variable :
Exemples corrigés
Exemple 1. \int(3\sin x + 2x)\,dx = -3\cos x + x^2 + C.
Exemple 2. \int_0^{\pi/3}\sin x\,dx = -\cos\frac{\pi}{3} + \cos 0 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}.
Exemple 3 : position à partir de la vitesse. Une particule a pour vitesse v(t) = \sin t et part de s(0) = 0. Alors s(t) = -\cos t + C, et s(0) = -1 + C = 0 donne C = 1, donc s(t) = 1 - \cos t.
Exemple 4 : valeur moyenne. La moyenne de \sin x sur [0, \pi] vaut \frac{1}{\pi}\cdot 2 = \frac{2}{\pi} \approx 0.637.
Erreurs fréquentes
- Écrire \cos x + C. Vérifiez en dérivant : \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, donc le signe est faux.
- Oublier de diviser par a dans \int\sin(ax)\,dx.
- Multiplier par a à la place. \int\sin(3x)\,dx ne vaut pas -3\cos(3x). C'est ce que donnerait une dérivation.
- Erreurs de signe dans les intégrales définies. Écrivez [-\cos x] avec les crochets et soustrayez avec soin : -\cos\pi = +1.
Ensuite, voyez l'intégrale de cos x, ou entraînez-vous avec les exercices sur les intégrales trigonométriques.
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