Integral von sin x: Formel, Herleitung und Beispiele
Das Integral von sin x ist -cos x + C. Woher das Minuszeichen kommt, die Fläche eines Sinusbogens, sin(ax + b) per Substitution und bestimmte Integrale.
Integrale trigonometrischer Funktionen Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Stammfunktion
- -\cos x + C
- Fläche eines Bogens
- \int_0^\pi \sin x\,dx = 2
- Volle Periode
- \int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0
- Lineare Form
- \int\sin(ax + b)\,dx = -\dfrac{1}{a}\cos(ax + b) + C
- Probe
- \dfrac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x
Auf dieser Seite
Das Integral von \sin x ist -\cos x + C. Die meisten Fehler bei diesem Integral haben eine einzige Ursache: das Minuszeichen.
Graph von sin x und seiner Stammfunktion
Wo \sin x > 0 ist (von 0 bis \pi), steigt die Stammfunktion -\cos x. Wo \sin x < 0 ist (von \pi bis 2\pi), fällt sie wieder.
Herleitung Schritt für Schritt
- Frage dich: Welche Funktion hat die Ableitung \sin x?
- Erinnere dich an die Ableitung von cos x: \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x.
- Die Form stimmt, das Vorzeichen nicht. Multipliziere mit -1: \frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x.
- Also ist -\cos x eine Stammfunktion, und mit C erhältst du alle.
Eine Merkhilfe: Den Kreis \sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin vorwärts zu durchlaufen heißt ableiten. Rückwärts heißt integrieren.
Probe durch Ableiten
Bestimmte Integrale
Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
Weitere nützliche Werte:
| Integral | Wert | Begründung |
|---|---|---|
| \int_0^{\pi/2}\sin x\,dx | 1 | -\cos\frac{\pi}{2} + \cos 0 = 0 + 1 |
| \int_0^{\pi}\sin x\,dx | 2 | ein ganzer Bogen |
| \int_0^{2\pi}\sin x\,dx | 0 | die beiden Bögen heben sich auf |
| \int_{-a}^{a}\sin x\,dx | 0 | \sin x ist ungerade |
Wenn du auf [0, 2\pi] die Gesamtfläche statt der orientierten Fläche willst, integriere \lvert\sin x\rvert und erhalte 4.
Varianten mit Substitution
Mit u = ax + b, du = a\,dx:
Also ist \int\sin(5x)\,dx = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C und \int\sin\left(\frac{x}{2}\right)dx = -2\cos\left(\frac{x}{2}\right) + C. Für \sin(2x) gibt es eine eigene Seite: das Integral von sin 2x.
Wenn die passende innere Ableitung dasteht, substituierst du:
Rechenbeispiele
Beispiel 1. \int(3\sin x + 2x)\,dx = -3\cos x + x^2 + C.
Beispiel 2. \int_0^{\pi/3}\sin x\,dx = -\cos\frac{\pi}{3} + \cos 0 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}.
Beispiel 3: Ort aus Geschwindigkeit. Ein Teilchen hat v(t) = \sin t und startet bei s(0) = 0. Dann ist s(t) = -\cos t + C, und aus s(0) = -1 + C = 0 folgt C = 1, also s(t) = 1 - \cos t.
Beispiel 4: Mittelwert. Der Mittelwert von \sin x auf [0, \pi] ist \frac{1}{\pi}\cdot 2 = \frac{2}{\pi} \approx 0.637.
Häufige Fehler
- \cos x + C schreiben. Probe durch Ableiten: \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, das Vorzeichen ist also falsch.
- Das Teilen durch a vergessen bei \int\sin(ax)\,dx.
- Stattdessen mit a multiplizieren. \int\sin(3x)\,dx ist nicht -3\cos(3x). Das würde beim Ableiten passieren.
- Vorzeichenfehler bei bestimmten Integralen. Schreibe [-\cos x] mit Klammern aus und subtrahiere sorgfältig: -\cos\pi = +1.
Als Nächstes: das Integral von cos x, oder übe mit den Aufgaben zu trigonometrischen Integralen.
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