Integral de x cos x: fórmula, passo a passo e exemplos
A integral de x cos x é x sen x + cos x + C. Veja a integração por partes passo a passo, a verificação, um gráfico, integrais definidas e x² cos x.
Produtos e integração por partes Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Primitiva
- x\sin x + \cos x + C
- Método
- Integração por partes com u = x, dv = \cos x\,dx
- De 0 a π/2
- \frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571
- De 0 a π
- -2
- Com cos(kx)
- \int x\cos kx\,dx = \frac{x}{k}\sin kx + \frac{1}{k^2}\cos kx + C
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A integral de x\cos x é x\sin x + \cos x + C. Como x\sin x, é uma potência de x vezes uma função trigonométrica, então a integração por partes com u = x resolve em um passo.
Gráfico de x cos x e de sua primitiva
Como integrar x cos x passo a passo
Use a integração por partes, \int u\,dv = uv - \int v\,du.
- Escolha as partes. u = x e dv = \cos x\,dx.
- Ache du e v. du = dx e v = \sin x, pela integral de cos x.
- Aplique a fórmula. \int x\cos x\,dx = x\sin x - \int\sin x\,dx
- Termine. \int\sin x\,dx = -\cos x, e subtraí-la dá +\cos x: \int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C
u = x é a escolha certa porque sua derivada é 1, o que elimina o x. Escolher u = \cos x aumentaria a potência para x^2.
Verificação por derivação
O \sin x da regra do produto cancela o -\sin x vindo de \cos x.
Integrais definidas
Seja F(x) = x\sin x + \cos x.
| Integral | Cálculo | Valor |
|---|---|---|
| \int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx | \left(\frac{\pi}{2} + 0\right) - (0 + 1) | \frac{\pi}{2} - 1 |
| \int_0^{\pi} x\cos x\,dx | (0 - 1) - (0 + 1) | -2 |
| \int_{\pi/2}^{3\pi/2} x\cos x\,dx | \left(-\frac{3\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2} | -2\pi |
| \int_{-a}^{a} x\cos x\,dx | integrando ímpar | 0 |
A última linha usa simetria: x\cos x é ímpar (uma função ímpar vezes uma par), então as áreas dos dois lados se cancelam.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: ângulo multiplicado. \int x\cos 3x\,dx. Com u = x e v = \frac{1}{3}\sin 3x:
Exemplo 2: x ao quadrado. \int x^2\cos x\,dx. Primeira passada com u = x^2, v = \sin x:
A integral de x sen x é \sin x - x\cos x, então
Exemplo 3: um fator linear. \int(2x - 1)\cos x\,dx. Com u = 2x - 1, du = 2\,dx:
Exemplo 4: um coeficiente de Fourier. Em séries de Fourier aparecem integrais como \int_{-\pi}^{\pi}x\cos(nx)\,dx. O integrando é ímpar, então a resposta é 0 para todo número natural n, sem precisar de partes.
Exemplo 5: um produto escondido. \int x\cos^2 x\,dx. Escreva \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} (veja a integral de cos²x), e então
Erros comuns
- Escrever x\sin x - \cos x. O que sobra é -\int\sin x\,dx = -(-\cos x) = +\cos x.
- Confundir com x\sin x. Aqui v = \sin x, sem troca de sinal; para x\sin x, v = -\cos x.
- Integrar fator por fator. \frac{x^2}{2}\sin x não é a resposta; derive para ver por quê.
- Esquecer o \frac{1}{k^2} no segundo termo quando o ângulo é kx.
Para mais prática, tente os exercícios de integração por partes.
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