Ableitung von e^(x²): Formel, Schritte und Beispiele
Die Ableitung von e^(x²) ist 2x·e^(x²). Mit den Schritten der Kettenregel, der zweiten Ableitung, dem Unterschied zu (eˣ)² und Beispielen wie e^(−x²).
Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- 2x\,e^{x^2}
- Zweite Ableitung
- (4x^2 + 2)\,e^{x^2}
- Kritischer Punkt
- x = 0, ein Minimum
- Verwandte Funktion
- \dfrac{d}{dx}e^{-x^2} = -2x\,e^{-x^2}
- Integral
- Für \int e^{x^2}\,dx gibt es keine elementare Formel
Auf dieser Seite
Die Ableitung von e^{x^2} ist 2x\,e^{x^2}. Die Exponentialfunktion wird unverändert übernommen und mit der Ableitung des Exponenten x^2 multipliziert.
Schritt für Schritt mit der Kettenregel
Die Funktion ist eine Verkettung: eine äußere Exponentialfunktion e^u und eine innere Funktion u = x^2. Nach der Kettenregel:
- Leite die äußere Funktion ab und lass die innere stehen: Da die Ableitung von eˣ wieder e^x ist, ergibt das e^{x^2}.
- Leite die innere Funktion ab: \frac{d}{dx}x^2 = 2x.
- Multipliziere: e^{x^2}\cdot 2x = 2x\,e^{x^2}.
Üblicherweise schreibt man das 2x nach vorne, damit niemand es für einen Teil des Exponenten hält.
Graph von e^(x²) und seiner Ableitung
Die Ableitung 2x\,e^{x^2} ist für x < 0 negativ und für x > 0 positiv, weil e^{x^2} immer positiv ist. Der Graph fällt also, erreicht bei x = 0 seinen Tiefpunkt und steigt dann. Er ist achsensymmetrisch zur y-Achse, und seine Ableitung ist eine ungerade Funktion.
Zweite Ableitung
Leite 2x\,e^{x^2} mit der Produktregel ab:
Wegen 4x^2 + 2 > 0 ist die Kurve überall linksgekrümmt und hat keine Wendepunkte.
e^(x²) im Vergleich zu (eˣ)²
Die beiden sehen ähnlich aus, sind aber verschiedene Funktionen:
| Funktion | Vereinfacht | Ableitung |
|---|---|---|
| e^{x^2} | e^{(x^2)} | 2x\,e^{x^2} |
| (e^x)^2 | e^{2x} | 2e^{2x} |
Bei x = 3: e^{x^2} = e^9 \approx 8103, aber (e^x)^2 = e^6 \approx 403. Zur zweiten Funktion siehe die Ableitung von e^(2x).
Rechenbeispiele
Beispiel 1: die Glockenkurve. Für f(x) = e^{-x^2} ist die innere Ableitung -2x:
Diese Form ist der Kern der Normalverteilung. Das Maximum liegt bei x = 0.
Beispiel 2: eine Konstante im Exponenten. Für g(x) = e^{3x^2 + 1} gilt
Beispiel 3: ein Produkt. Für h(x) = x\,e^{x^2} gilt
h'(x) ist immer positiv, also ist h streng monoton steigend.
Typische Fehler
- Das 2x vergessen. \frac{d}{dx}e^{x^2} = e^{x^2} ist falsch, das gilt nur für das reine e^x.
- e^{2x} schreiben. Der Exponent ändert sich beim Ableiten einer Exponentialfunktion nie.
- Die Potenzregel anwenden. x^2 e^{x^2 - 1} behandelt die Exponentialfunktion wie eine Potenz von e mit variabler Basis. Das ist sie nicht.
- Ein einfaches Integral erwarten. Du kannst e^{x^2} in einer Zeile ableiten, aber seine Stammfunktion hat keine elementare Formel. Warum das so ist und was man stattdessen tut, steht beim Integral von e^(x²).
Übe weitere Exponentialfunktionen mit der Kettenregel bei den Aufgaben zu Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen.
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