Integral von e^(x²): Warum es keine einfache Formel gibt

e^{x^2} hat keine elementare Stammfunktion, und die Glockenkurve e^{-x^2} auch nicht. Keine Formel aus Potenzen, Wurzeln, Exponentialfunktionen, Logarithmen und trigonometrischen Funktionen hat eine der beiden als Ableitung. Die Stammfunktionen existieren trotzdem, und sie haben Namen:

Und ein berühmtes bestimmtes Integral hat einen exakten Wert:

Graph von e^(x²) und e^(−x²)

Warum die üblichen Methoden versagen

• Substitution. u = x^2 braucht du = 2x\,dx, aber es gibt kein x, das es liefern könnte. Vergleiche \int xe^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}e^{x^2} + C, wo es funktioniert.
• Durch die innere Ableitung teilen. Diese Abkürzung klappt nur bei konstanter innerer Steigung, wie beim Integral von e²ˣ. Hier ändert sich die Steigung 2x.
• Partielle Integration. Jede Wahl von u und dv führt auf ein schwierigeres Integral.

Das ist kein Pech. Joseph Liouville hat in den 1830er-Jahren bewiesen, dass sich \int e^{x^2}\,dx nicht elementar darstellen lässt. Zur selben Familie gehören zum Beispiel \frac{\sin x}{x} und \frac{1}{\ln x}.

Die Fehlerfunktion

Da die Stammfunktion existiert, aber keine Formel hat, bekommt sie einen eigenen Namen. Die Gaußsche Fehlerfunktion ist

Der Faktor \frac{2}{\sqrt{\pi}} ist so gewählt, dass \operatorname{erf}(x) \to 1 für x \to \infty gilt. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Teil 1 ist ihre Ableitung \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}, woraus die Formel oben folgt. Die imaginäre Fehlerfunktion \operatorname{erfi}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{t^2}\,dt spielt dieselbe Rolle für e^{x^2}.

Die Fehlerfunktion ist in der Statistik allgegenwärtig, denn die Normalverteilung ist eine gestreckte Kopie von e^{-x^2}. Die Normalverteilungsfunktion deines Taschenrechners berechnet im Hintergrund erf.

Die Lösung als Potenzreihe

Als Reihe bekommst du eine Stammfunktion immer. Starte mit e^u = \sum_{n=0}^\infty \frac{u^n}{n!} mit u = x^2 und integriere gliedweise:

Die Reihe konvergiert für jedes x. Bei e^{-x^2} wechseln die Vorzeichen: x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \cdots

Probe durch Ableiten. Die Ableitung von \frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)} ist \frac{x^{2n}}{n!} = \frac{(x^2)^n}{n!}, und deren Summe ist e^{x^2}.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: ein bestimmtes Integral per Reihe. Setze x = 1 in die Reihe ein:

Beispiel 2: die Glockenkurve von 0 bis 1. Die alternierende Reihe liefert

Da die Reihe alterniert, ist der Fehler beim Abbrechen kleiner als das erste weggelassene Glied.

Beispiel 3: das Gaußsche Integral. Nenne I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx. Multipliziere zwei Kopien, eine in x und eine in y, und wechsle zu Polarkoordinaten, wo dx\,dy = r\,dr\,d\theta gilt:

Das zusätzliche r ist genau der Faktor, mit dem u = r^2 funktioniert. Also ist I = \sqrt{\pi}. Die Lektion zu Doppelintegralen in Polarkoordinaten erklärt den Koordinatenwechsel.

Beispiel 4: eine skalierte Glockenkurve. Mit x = \frac{t}{\sqrt{a}} gilt \int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{a}} für a > 0.

Häufige Fehler

1. \frac{e^{x^2}}{2x} + C schreiben. Leite es ab, und du siehst, dass es nicht stimmt.
2. Annehmen, dass jedes Integral eine Formel hat. Manche haben keine. In einer Klausur bedeutet ein bestimmtes Integral über e^{x^2} meist „verwende eine Reihe“ oder „verwende den Taschenrechner“.
3. e^{x^2} mit (e^x)^2 verwechseln. (e^x)^2 = e^{2x}, und das ergibt integriert \frac{1}{2}e^{2x}. e^{x^2} bedeutet e hoch x^2.
4. Den x-Test vergessen. Ist der Integrand xe^{x^2} oder xe^{-x^2}, funktioniert eine einfache Substitution.

Zu Reihentechniken siehe den Leitfaden zur Taylorreihe. Zu den einfacheren Exponentialfunktionen siehe Integral von eˣ und Integral von e⁻ˣ.