practicecalculus
Starten
practicecalculus
Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen

Ableitung von xˣ: Formel, Beweis und Beispiele

Die Ableitung von xˣ ist xˣ(ln x + 1). Lerne zwei Methoden, logarithmisches Differenzieren und die Umformung zu e^(x ln x), dazu Graph und Beispiele.

Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit

Auf einen Blick

\frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1)
Ableitung
x^x(\ln x + 1) für x > 0
Entscheidende Umformung
x^x = e^{x\ln x}
Methode
logarithmisches Differenzieren
Minimum
x = \frac{1}{e}, Wert e^{-1/e} \approx 0.692
Allgemeine Form
\dfrac{d}{dx}f^g = f^g\left(g'\ln f + \dfrac{gf'}{f}\right)
Auf dieser Seite
  1. Warum die üblichen Regeln versagen
  2. Methode 1: logarithmisches Differenzieren
  3. Methode 2: Umschreiben zur Basis e
  4. Graph von xˣ und seiner Ableitung
  5. Rechenbeispiele
  6. Typische Fehler

Die Ableitung von x^x ist x^x(\ln x + 1). Sie ist das klassische Beispiel für eine Funktion, die logarithmisches Differenzieren braucht.

\frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1), \qquad x > 0

Warum die üblichen Regeln versagen

Funktion Basis Exponent Regel Ableitung
x^3 variabel konstant Potenzregel 3x^2
3^x konstant variabel Regel für Exponentialfunktionen 3^x\ln 3
x^x variabel variabel keine allein x^x(\ln x + 1)

Mit der Potenzregel erhältst du x\cdot x^{x-1} = x^x, mit der Regel für Exponentialfunktionen x^x\ln x. Beides ist falsch. Interessanterweise ist das richtige Ergebnis ihre Summe.

Methode 1: logarithmisches Differenzieren

Sei y = x^x. Logarithmiere beide Seiten mit dem natürlichen Logarithmus, um den Exponenten nach unten zu holen:

\ln y = x\ln x

Leite beide Seiten ab. Die linke Seite braucht implizites Differenzieren, die rechte die Produktregel (es ist die Ableitung von x ln x):

\frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dx} = \ln x + 1

Multipliziere mit y = x^x:

\frac{dy}{dx} = x^x(\ln x + 1)

Methode 2: Umschreiben zur Basis e

Wegen x = e^{\ln x} gilt x^x = e^{x\ln x}. Nutze jetzt die Kettenregel mit der äußeren Funktion e^u:

\frac{d}{dx}e^{x\ln x} = e^{x\ln x}\cdot\frac{d}{dx}(x\ln x) = x^x(\ln x + 1)

Beide Methoden beruhen eigentlich auf derselben Idee. Nimm die, die dir natürlicher vorkommt.

Graph von xˣ und seiner Ableitung

Graph von y = xˣ und seiner Ableitung
Die Kurve sinkt bei x = \frac{1}{e} auf ihren kleinsten Wert von etwa 0.692 und wächst danach sehr schnell. Bei x = 1 sind Funktionswert und Steigung beide 1.

Da x^x > 0 ist, hängt das Vorzeichen der Ableitung nur von \ln x + 1 ab. Es ist negativ für x < \frac{1}{e} und danach positiv, das Minimum liegt also bei x = \frac{1}{e}. Sein Wert ist \left(e^{-1}\right)^{1/e} = e^{-1/e} \approx 0.692.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Steigung bei x = 2. \frac{d}{dx}x^x\big|_{x = 2} = 2^2(\ln 2 + 1) = 4(1.693) \approx 6.77.

Beispiel 2: x hoch sin x. Sei y = x^{\sin x}. Dann gilt \ln y = \sin x\ln x, und

\frac{y'}{y} = \cos x\ln x + \frac{\sin x}{x} \quad\Longrightarrow\quad y' = x^{\sin x}\left(\cos x\ln x + \frac{\sin x}{x}\right)

Beispiel 3: x hoch 1/x. Sei y = x^{1/x}. Dann gilt \ln y = \frac{\ln x}{x}, und die Quotientenregel liefert

\frac{y'}{y} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad y' = x^{1/x}\cdot\frac{1 - \ln x}{x^2}

Das ist null bei x = e, also ist x^{1/x} bei x = e am größten, mit dem Wert e^{1/e} \approx 1.445.

Beispiel 4: x hoch x Quadrat. Für y = x^{x^2} ist \ln y = x^2\ln x, also y' = x^{x^2}(2x\ln x + x).

Typische Fehler

  1. Potenzregel: x\cdot x^{x-1} = x^x. Falsch, weil der Exponent nicht konstant ist.
  2. Regel für Exponentialfunktionen: x^x\ln x. Falsch, weil die Basis nicht konstant ist.
  3. Am Ende des logarithmischen Differenzierens vergessen, mit y zu multiplizieren, sodass nur \ln x + 1 übrig bleibt.

Mehr zu dieser Methode findest du bei den Aufgaben zum impliziten Differenzieren und der Ableitung von 2ˣ und aˣ.

Jetzt üben

Implizites Differenzieren

Löse echte Aufgaben zu diesem Thema mit sofortigem Feedback, Tipps und einem Schritt-für-Schritt-Lösungsweg zu jeder Antwort. Kostenlos, ohne Registrierung.

Diese Lektion üben

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Ableitung von x^x?
Die Ableitung von x^x ist x^x(\ln x + 1), für x > 0.

Warum kann ich bei x^x nicht die Potenzregel verwenden?
Die Potenzregel braucht einen konstanten Exponenten, die Regel für Exponentialfunktionen eine konstante Basis. Bei x^x ändern sich beide, also musst du logarithmisch differenzieren oder die Funktion als e^{x\ln x} schreiben.

Was ist die Ableitung von x^(sin x)?
Mit logarithmischem Differenzieren: x^{\sin x}\left(\cos x\ln x + \frac{\sin x}{x}\right).

Wo liegt das Minimum von x^x?
Bei x = \frac{1}{e} \approx 0.368, wo die Ableitung null ist. Der minimale Wert ist \left(\frac{1}{e}\right)^{1/e} = e^{-1/e} \approx 0.692.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

Wir entwickeln interaktive Analysis-Lektionen und schreiben jede Seite klar und korrekt. Ist dir ein Fehler aufgefallen? Sag uns Bescheid, dann beheben wir ihn.

Weitere ableitungen

Ableitung von x ln x \frac{d}{dx}\,x\ln x = \ln x + 1 Die Ableitung von x ln x ist ln x + 1. Mit der Produktregel Schritt für Schritt, dem Minimum bei x = 1/e, der zweiten Ableitung, Graph und Beispielen. Ableitung von 2^x \frac{d}{dx}\,2^x = 2^x\ln 2 Die Ableitung von 2ˣ ist 2ˣ ln 2, die von aˣ ist aˣ ln a. Mit Beweis über die Umformung aˣ = e^(x ln a), Beispielen zur Kettenregel und einem Graphen. Ableitung von e^x \frac{d}{dx}\,e^x = e^x Die Ableitung von eˣ ist eˣ. Mit Begründung über den Grenzwert, der Kettenregel für e^u, einem Graphen und Rechenbeispielen wie e^(3x) und x²eˣ.