Aufgaben zum impliziten Differenzieren mit Lösungen

Diese Aufgaben zum impliziten Differenzieren beginnen mit Kreisen und einfachen Produkten, nehmen dann trigonometrische Funktionen und e-Funktionen hinzu und enden mit Tangenten, waagerechten Tangenten und einer zweiten Ableitung. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Lösungen stehen direkt nach der Liste, danach folgen die vollständigen Lösungswege.

Der entscheidende Punkt: Da y von x abhängt, liefert die Kettenregel

Also ist \frac{d}{dx}y^2 = 2y\frac{dy}{dx} und \frac{d}{dx}\sin y = \cos y\frac{dy}{dx}. Im Folgenden steht y' für \frac{dy}{dx}. Zur Wiederholung lies die Regel zum impliziten Differenzieren oder den Leitfaden zum impliziten Differenzieren.

Aufgaben

Bestimme dy/dx

1. x^2 + y^2 = 25
2. xy = 8
3. \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5
4. x^2 + xy + y^2 = 7
5. x^3 + y^3 = 6xy

Trigonometrische Funktionen und e-Funktionen

6. \tan y = x
7. e^y = x^2 + y
8. \cos(xy) = y

Tangenten und zweite Ableitungen

9. Bestimme die Tangente an x^2 + y^2 = 25 im Punkt (3, -4).
10. Bestimme die Tangente an x^2 + xy + y^2 = 7 im Punkt (1, 2).
11. Bestimme die Punkte, in denen x^2 + xy + y^2 = 7 eine waagerechte Tangente hat.
12. Bestimme y'' für x^2 + y^2 = 25, nur in Abhängigkeit von y.

Lösungen

Lösungswege Schritt für Schritt

1. Leite beide Seiten ab. Die rechte Seite ist eine Konstante:

2. Die linke Seite ist ein Produkt, also verwendest du die Produktregel:

3. Schreibe die Wurzeln als Potenzen mit Exponent \frac{1}{2}:

4. Der mittlere Term braucht die Produktregel:

Fasse die Terme mit y' zusammen: y'(x + 2y) = -(2x + y), also

5. Die rechte Seite 6xy braucht die Produktregel:

Bring die Terme mit y' nach links und den Rest nach rechts: y'(3y^2 - 6x) = 6y - 3x^2. Teile durch 3:

6. Leite beide Seiten ab: \sec^2 y\cdot y' = 1, also y' = \frac{1}{\sec^2 y}. Verwende \sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + x^2:

Genau so beweist man die Ableitung von arctan x, denn \tan y = x bedeutet y = \arctan x.

7. Leite ab: e^y\,y' = 2x + y'. Fasse die Terme mit y' zusammen:

8. Die linke Seite ist eine Kettenregel mit einem Produkt als innerer Funktion:

Ausmultiplizieren: -y\sin(xy) - x\sin(xy)\,y' = y'. Fasse die Terme mit y' rechts zusammen:

9. Aus Aufgabe 1 ist y' = -\frac{x}{y}. Im Punkt (3, -4) ist die Steigung -\frac{3}{-4} = \frac{3}{4}:

10. Prüfe zuerst den Punkt: 1 + 2 + 4 = 7. Aus Aufgabe 4 ist die Steigung im Punkt (1, 2)

11. Eine waagerechte Tangente erfordert y' = 0, also muss der Zähler der Lösung von Aufgabe 4 null sein: 2x + y = 0, also y = -2x. Setze das in die Kurvengleichung ein:

Mit y = -2x erhältst du die beiden Punkte aus der Lösungstabelle. In beiden Punkten ist der Nenner x + 2y = -3x ungleich null, die Steigung ist also wirklich 0.

12. Gehe von y' = -\frac{x}{y} aus und verwende die Quotientenregel:

Setze y' = -\frac{x}{y} ein:

Auf der Kurve gilt x^2 + y^2 = 25, also y'' = -\frac{25}{y^3}.

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• y' bei Termen mit y vergessen. \frac{d}{dx}y^2 ist 2y\,y', nicht 2y. Jeder Term mit y muss diesen Faktor bekommen.
• xy wie eine einzige Variable behandeln. In Aufgabe 2 braucht \frac{d}{dx}(xy) die Produktregel, es entstehen also zwei Terme.
• Die Konstante falsch ableiten. In Aufgabe 1 ist die Ableitung von 25 gleich 0.
• y' in der zweiten Ableitung nicht ersetzen. In Aufgabe 12 ersetzt du y' durch -\frac{x}{y}, bevor du vereinfachst.

Weiter üben

Diese 12 Aufgaben verwenden feste Zahlen. Für unbegrenzt viele Übungen mit neuen Kurven und sofortigem Feedback probiere die Lektion zum impliziten Differenzieren. Implizites Differenzieren nach der Zeit ist das wichtigste Werkzeug in den Aufgaben zu verknüpften Änderungsraten, und damit werden auch die Ableitungen der Arkusfunktionen bewiesen.