Ableitung von 2ˣ und aˣ: Formel, Beweis und Beispiele
Die Ableitung von 2ˣ ist 2ˣ ln 2, die von aˣ ist aˣ ln a. Mit Beweis über die Umformung aˣ = e^(x ln a), Beispielen zur Kettenregel und einem Graphen.
Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung von 2ˣ
- 2^x\ln 2 \approx 0.693\cdot 2^x
- Allgemeine Basis
- \dfrac{d}{dx}a^x = a^x\ln a für a > 0
- Mit Kettenregel
- \dfrac{d}{dx}a^u = a^u\ln a\cdot u'
- Entscheidende Umformung
- a^x = e^{x\ln a}
- Als Integral
- \int 2^x\,dx = \dfrac{2^x}{\ln 2} + C
Auf dieser Seite
Die Ableitung von 2^x ist 2^x\ln 2. Dasselbe Muster gilt für jede positive Basis:
Wegen \ln 2 \approx 0.693 beträgt die Steigung von 2^x immer etwa 69\% des Funktionswerts.
Graph von 2ˣ und seiner Ableitung
Beweis: Umschreiben zur Basis e
Jede positive Basis lässt sich als Potenz von e schreiben, denn a = e^{\ln a}:
Jetzt ist \ln a einfach eine Konstante, also liefert die Kettenregel zusammen mit der Ableitung von eˣ
Für a = 2 ist das 2^x\ln 2. Für a = e ergibt sich e^x\ln e = e^x. Deshalb ist e die natürliche Basis: Sie ist die einzige Basis ohne zusätzlichen Faktor.
Wie groß ist der Faktor ln a?
| Basis a | \ln a | Ableitung von a^x |
|---|---|---|
| 2 | \approx 0.693 | 2^x\ln 2 |
| e | 1 | e^x |
| 3 | \approx 1.099 | 3^x\ln 3 |
| 10 | \approx 2.303 | 10^x\ln 10 |
| \frac{1}{2} | \approx -0.693 | -\left(\frac{1}{2}\right)^x\ln 2 |
Für 0 < a < 1 ist \ln a negativ, also ist a^x fallend. Das passt zum Graphen des exponentiellen Zerfalls.
Mit der Kettenregel und Beispiele
Beispiel 1. \frac{d}{dx}2^{3x} = 2^{3x}\ln 2\cdot 3 = 3\ln 2\cdot 2^{3x}.
Beispiel 2. \frac{d}{dx}3^{x^2} = 3^{x^2}\ln 3\cdot 2x = 2x\ln 3\cdot 3^{x^2}.
Beispiel 3. \frac{d}{dx}2^{-x} = -2^{-x}\ln 2.
Beispiel 4: Produktregel. Für f(x) = x\cdot 2^x liefert die Produktregel
Beispiel 5: Wachstumsrate. Eine Population P(t) = 500\cdot 2^t verdoppelt sich in jeder Zeiteinheit. Ihre Wachstumsrate bei t = 3 ist P'(3) = 500\cdot 8\ln 2 \approx 2773 pro Zeiteinheit.
2ˣ im Vergleich zu x²
| Funktion | Basis | Exponent | Regel | Ableitung |
|---|---|---|---|---|
| x^2 | variabel | konstant | Potenzregel | 2x |
| 2^x | konstant | variabel | Regel für Exponentialfunktionen | 2^x\ln 2 |
| x^x | variabel | variabel | logarithmisches Differenzieren | x^x(\ln x + 1) |
Wenn Basis und Exponent beide variabel sind, reicht keine der beiden Regeln allein. Sieh dir dazu die Ableitung von xˣ an.
Typische Fehler
- Die Potenzregel anwenden: x\cdot 2^{x-1}. Falsche Regel für einen variablen Exponenten.
- \ln 2 weglassen. Das wäre nur für die Basis e richtig.
- \log 2 statt \ln 2 schreiben. Der Faktor ist der natürliche Logarithmus.
Die Umkehrung, \int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C, steht auf der Seite zum Integral von 2ˣ. Die Umkehrfunktion \log_2 x behandelt die Seite zur Ableitung von log x. Siehe auch Exponentialfunktionen.
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