Ableitung von x ln x: Formel, Schritte und Beispiele

Die Ableitung von x\ln x ist \ln x + 1. Es ist ein Produkt, also erledigt die Produktregel die ganze Arbeit.

Schritt für Schritt mit der Produktregel

Die Produktregel besagt (fg)' = f'g + fg'. Nimm f = x und g = \ln x:

1. f' = 1.
2. g' = \frac{1}{x}, aus der Ableitung von ln x.
3. Zusammensetzen: 1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1.

Das x vorne kürzt sich mit dem \frac{1}{x} aus dem Logarithmus, übrig bleibt ein sauberes Ergebnis.

Graph von x ln x und seiner Ableitung

Das Minimum bestimmen

Setze die Ableitung gleich null:

Für x < \frac{1}{e} ist die Ableitung negativ, für x > \frac{1}{e} positiv, also liegt hier ein Minimum. Sein Wert ist

Die zweite Ableitung bestätigt das: \frac{d^2}{dx^2}x\ln x = \frac{1}{x} ist für jedes x > 0 positiv, die Kurve ist also überall linksgekrümmt.

Was in der Nähe von x = 0 passiert

Der Graph scheint im Ursprung zu beginnen, obwohl x\ln x bei 0 nicht definiert ist. Das liegt an \lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0. Schreibe den Ausdruck als \frac{\ln x}{1/x} und wende die Regel von L'Hospital an:

Die Steigung \ln x + 1 geht dagegen gegen -\infty, die Kurve verlässt den Ursprung also fast senkrecht.

Verwandte Beispiele

Beispiel 1. \frac{d}{dx}(x\ln x - x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x. Das zeigt, dass x\ln x - x eine Stammfunktion von \ln x ist, siehe das Integral von ln x.

Beispiel 2. \frac{d}{dx}x^2\ln x = 2x\ln x + x^2\cdot\frac{1}{x} = 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1).

Beispiel 3. \frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x} = \frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}, nach der Quotientenregel. Das Maximum liegt bei x = e.

Beispiel 4. \frac{d}{dx}x\ln(3x) = \ln(3x) + 1, denn auch \frac{d}{dx}\ln(3x) = \frac{1}{x}.

Typische Fehler

1. Die Ableitungen multiplizieren. 1\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x} ist nicht die Produktregel. Du brauchst beide Summanden.
2. Den Definitionsbereich vergessen. x\ln x existiert nur für x > 0, also suchst du das Minimum nur dort.
3. Mit x^x verwechseln. \frac{d}{dx}x^x = x^x(\ln x + 1). Der Faktor \ln x + 1 taucht auf, weil x^x = e^{x\ln x} ist, siehe die Ableitung von xˣ.

Für die Gegenrichtung nutzt das Integral von x ln x die partielle Integration. Weitere Übungen zur Produktregel findest du bei den Aufgaben zur Produkt- und Quotientenregel.