Sandwich-Satz: sin x/x, x² sin(1/x) und klassische Trig-Grenzwerte

Du setzt x = 0 in \frac{\sin x}{x} ein und erhältst \frac{0}{0}. Du versuchst es mit x^2 \sin(1/x), und der Taschenrechner zeigt ein Zittern, das nie zur Ruhe kommt. Faktorisieren bringt nichts, und laut Grenzwertsätzen darfst du das Produkt nicht aufteilen, weil \sin(1/x) keinen Grenzwert hat. Der Sandwich-Satz (auch Einschnürungssatz) ist genau für solche Grenzwerte gemacht.

Dieser Leitfaden erklärt, was der Sandwich-Satz besagt, stellt ein zuverlässiges Vorgehen in vier Schritten vor und rechnet die klassischen trigonometrischen Grenzwerte durch, die in jeder Analysis-Grundvorlesung und in der Oberstufe drankommen, einschließlich des berühmten Beweises, dass \frac{\sin x}{x} \to 1 gilt.

Was ist der Sandwich-Satz?

Anschaulich gesagt: Steckt eine Funktion zwischen einem Boden und einer Decke fest und treffen sich Boden und Decke in derselben Höhe, dann wird auch die Funktion in der Mitte auf diese Höhe zusammengedrückt.

Hier die formale Aussage. Angenommen, für alle x in der Nähe von a (eventuell mit Ausnahme von x = a selbst) gilt

und außerdem

Dann gilt

Dieselbe Aussage gilt für einseitige Grenzwerte und für Grenzwerte mit x \to \infty. Du findest den Satz auch unter den Namen Einschnürungssatz, Einschließungskriterium oder Polizistenregel. Auf der Übersichtsseite zum Sandwich-Satz steht die Aussage in kompakter Form.

Zwei Details sind wichtig:

1. Die Ungleichung muss nur in der Nähe von a gelten, nicht überall. Für x \to 0 genügt es, wenn sie auf einem kleinen Intervall wie 0 < \lvert x \rvert < 1 gilt.
2. Die beiden Schranken müssen denselben Grenzwert haben. Geht der Boden gegen -1 und die Decke gegen 1, weißt du nur, dass f dazwischen bleibt, aber nicht, wohin es strebt.

Wenn du vorher noch einmal auffrischen möchtest, was ein Grenzwert ist, lies Was ist ein Grenzwert in der Analysis?.

Die Abschätzung hinter fast jeder Aufgabe

Sinus und Kosinus verlassen nie das Intervall [-1, 1], ganz egal, was du einsetzt:

Das ist schon der ganze Trick. Das Argument kann 1/x, x^3 oder e^x sein, der Funktionswert bleibt trotzdem eingesperrt. Die meisten Aufgaben zum Sandwich-Satz beginnen mit dieser Zeile und multiplizieren oder dividieren dann jeden Teil mit etwas, das gegen 0 oder \infty geht. Die beschränkte Welle siehst du auf der Seite zur Sinusfunktion.

Den Sandwich-Satz in 4 Schritten anwenden

1. Den beschränkten Teil isolieren. Suche den oszillierenden Teil, meist einen Sinus oder Kosinus, und schreibe -1 \le \sin(\dots) \le 1.
2. Den Rest der Funktion aufbauen. Multipliziere (oder dividiere) alle drei Teile mit dem übrigen Faktor. Kann dieser Faktor negativ werden, arbeite mit Beträgen, damit sich die Ungleichung nicht unbemerkt umdreht.
3. Den Grenzwert beider Schranken bilden. Verwende direktes Einsetzen oder die Grenzwertsätze.
4. Prüfen, ob sie übereinstimmen. Streben beide Schranken gegen L, folgt, dass auch die mittlere Funktion dorthin strebt.

Rechenbeispiel 1: x² sin(1/x) für x gegen 0

Bestimme \displaystyle \lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right).

Warum andere Methoden scheitern. Einsetzen liefert 0 \cdot \sin(1/0), und das ist nicht definiert. Der Produktsatz verlangt, dass beide Grenzwerte existieren, aber \sin(1/x) schwankt zwischen -1 und 1, und zwar unendlich oft in der Nähe von 0, und hat keinen Grenzwert.

Schritt 1. Den oszillierenden Teil abschätzen. Für jedes x \ne 0 gilt

Schritt 2. Mit x^2 multiplizieren. Da x^2 > 0 für x \ne 0 gilt, drehen sich die Ungleichungen beim Multiplizieren nicht um:

Schritt 3. Die Grenzwerte der Schranken bilden.

Schritt 4. Folgern. Beide Schranken gehen gegen 0, also gilt

Rechenbeispiel 2: sin x / x für x gegen unendlich

Bestimme \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}.

Schritt 1. Beginne mit -1 \le \sin x \le 1.

Schritt 2. Uns interessieren nur große x, also nehmen wir x > 0 an. Beim Dividieren durch eine positive Zahl bleibt die Richtung der Ungleichung erhalten:

Schritt 3. Beide Schranken gehen gegen 0 für x \to \infty (lies Grenzwerte im Unendlichen, falls dir dieser Schritt nicht vertraut ist).

Schritt 4. Daher gilt

Achte auf den Gegensatz zum nächsten Beispiel. Derselbe Ausdruck hat im Unendlichen den Grenzwert 0, an der Stelle null aber den Grenzwert 1. Prüfe immer, wohin x strebt.

Rechenbeispiel 3: warum der Grenzwert von sin x / x für x gegen 0 gleich 1 ist

Das ist der wichtigste trigonometrische Grenzwert der einführenden Analysis:

Einsetzen liefert \frac{0}{0}, und die einfache Abschätzung -1 \le \sin x \le 1 reicht hier nicht aus (Division durch x ergibt die Schranken \pm\frac{1}{x}, die explodieren). Wir brauchen schärfere Schranken, und die liefert die Geometrie.

Schritt 1. Den Einheitskreis aufstellen. Sei 0 < x < \frac{\pi}{2}, gemessen im Bogenmaß. Sei O der Ursprung, A = (1, 0), P = (\cos x, \sin x) auf dem Kreis und T = (1, \tan x) der Punkt, in dem die Gerade durch O und P die senkrechte Gerade x = 1 schneidet.

Schritt 2. Drei Flächen vergleichen. Das kleine Dreieck OAP liegt im Kreissektor OAP, und dieser liegt im großen Dreieck OAT:

• Dreieck OAP: Grundseite 1, Höhe \sin x, Fläche \frac{1}{2}\sin x.
• Sektor mit Winkel x in einem Kreis mit Radius 1: Fläche \frac{1}{2}x.
• Dreieck OAT: Grundseite 1, Höhe \tan x, Fläche \frac{1}{2}\tan x.

Also gilt

Schritt 3. Durch \sin x dividieren. Der Sinus ist auf 0 < x < \frac{\pi}{2} positiv, also dreht sich nichts um:

Schritt 4. Kehrwerte bilden. Alle drei Größen sind positiv, und beim Übergang zu den Kehrwerten positiver Zahlen drehen sich die Ungleichungen um:

Schritt 5. Negative x behandeln. Sowohl \cos x als auch \frac{\sin x}{x} sind gerade Funktionen (das Ersetzen von x durch -x ändert nichts), also gilt dieselbe Ungleichung für -\frac{\pi}{2} < x < 0.

Schritt 6. Einschnüren. Es gilt \lim_{x \to 0} \cos x = 1 und \lim_{x \to 0} 1 = 1, also

Tipp: Dieser Grenzwert ist der Grund, warum die Ableitung von \sin x gleich \cos x ist. Der Beweis in Ableitungen trigonometrischer Funktionen verwendet ihn direkt. Deshalb ist es auch ein Zirkelschluss, die Regel von L'Hôpital auf \frac{\sin x}{x} anzuwenden: L'Hôpital braucht diese Ableitung bereits.

Rechenbeispiel 4: der Grenzwert von (1 - cos x)/x

Bestimme \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}.

Sobald du \frac{\sin x}{x} \to 1 kennst, brauchst du keine neue Einschnürung. Durch Umformen wird daraus der Grenzwert, den du schon hast.

Schritt 1. Mit dem konjugierten Ausdruck 1 + \cos x erweitern:

Schritt 2. 1 - \cos^2 x = \sin^2 x verwenden:

Schritt 3. Die einzelnen Grenzwerte bilden. Der erste Faktor geht gegen 1. Der zweite ist bei 0 stetig, also setzt du ein: \frac{\sin 0}{1 + \cos 0} = \frac{0}{2} = 0.

Mit denselben Schritten erhältst du einen nahen Verwandten. Für \frac{1 - \cos x}{x^2} ergibt sich \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot \frac{1}{1 + \cos x} \to 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.

Rechenbeispiel 5: sin(kx)/x und tan x/x umskalieren

Viele Prüfungsaufgaben verstecken \frac{\sin x}{x}. Die Lösung: Sorge dafür, dass der Nenner zum Argument des Sinus passt.

Bestimme \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{3x}.

Das Argument ist 5x, also wollen wir 5x im Nenner haben. Multipliziere und dividiere durch 5:

Für x \to 0 geht auch u = 5x \to 0, also \frac{\sin u}{u} \to 1. Das Ergebnis ist \frac{5}{3}.

Bestimme \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}.

Schreibe den Tangens als Sinus durch Kosinus:

Die Version mit Betrag

Aus dem Sandwich-Satz folgt eine praktische Abkürzung: Gilt \lvert f(x) \rvert \le h(x) und h(x) \to 0, dann gilt f(x) \to 0. Denn es ist -h(x) \le f(x) \le h(x), und beide Seiten gehen gegen 0.

Zum Beispiel gilt \lvert x \sin(1/x) \rvert \le \lvert x \rvert und \lvert x \rvert \to 0, also \lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0. Diese Version funktioniert nur, wenn der gesuchte Grenzwert 0 ist.

Häufige Fehler beim Sandwich-Satz

1. Schranken, die nicht übereinstimmen. Wer -1 \le \cos x \le 1 hinschreibt und dort aufhört, hat über den Grenzwert nichts bewiesen. Boden und Decke müssen gegen dieselbe Zahl streben.
2. Unachtsam mit Vorzeichen. Für x \sin(1/x) ist -x \le x\sin(1/x) \le x falsch, wenn x < 0 ist, denn die Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht die Ungleichungen um. Verwende stattdessen -\lvert x \rvert \le x\sin(1/x) \le \lvert x \rvert.
3. Den Grenzwert mit dem Produktsatz aufteilen. \lim x^2 \cdot \lim \sin(1/x) = 0 \cdot (\text{something}) zu schreiben ist unzulässig, weil \lim_{x \to 0}\sin(1/x) nicht existiert. Die Grenzwertsätze verlangen, dass jeder Teil einen Grenzwert hat.
4. x \to 0 mit x \to \infty verwechseln. \frac{\sin x}{x} geht gegen 1 an der Stelle 0, im Unendlichen aber gegen 0.
5. Argument und Nenner passen nicht zusammen. \frac{\sin(5x)}{x} geht nicht gegen 1. Es ist 5 \cdot \frac{\sin(5x)}{5x} \to 5.
6. Rechnen im Gradmaß. Die Fläche eines Sektors ist nur im Bogenmaß gleich \frac{1}{2}x. Im Gradmaß strebt \frac{\sin x}{x} gegen \frac{\pi}{180}, nicht gegen 1.

Weitere solche Fallen aus der gesamten einführenden Analysis findest du in 12 häufige Fehler in der Analysis.

Kurzübersicht: klassische trigonometrische Grenzwerte

Der Sandwich-Satz ist eine von fünf Standardstrategien für Grenzwerte. Den kompletten Werkzeugkasten, einschließlich der Frage, wann du zuerst zu Einsetzen, Faktorisieren oder konjugiertem Erweitern greifen solltest, findest du in Grenzwerte berechnen.

Üben, bis die Schranken wie von selbst kommen

Das Schwierige am Sandwich-Satz ist nicht der Satz selbst. Es ist die Wahl der Schranken und der saubere Umgang mit den Ungleichheitszeichen. Nach etwa einem Dutzend Aufgaben geht das automatisch. Arbeite die interaktiven Übungen zu Grenzwerten unten durch: Jede Aufgabe gibt sofort Rückmeldung, weist direkt auf nicht passende Schranken oder umgedrehte Ungleichungen hin und zeigt die vollständige Lösung, damit du genau siehst, wo die Einschnürung passiert.