Grenzwertsätze: Summen-, Produkt-, Quotienten- und Potenzregel

Die Grenzwertsätze sind die Rechenregeln für Grenzwerte. Sie besagen: Streben zwei Funktionen jeweils gegen einen endlichen Grenzwert, dann streben ihre Summe, Differenz, ihr Produkt, Quotient und ihre Potenzen gegen die entsprechende Verknüpfung dieser Grenzwerte. So wird aus einem schweren Grenzwert eine Reihe einfacher.

Die Grenzwertsätze

Sei \lim_{x \to a} f(x) = L und \lim_{x \to a} g(x) = M mit reellen Zahlen L und M, und sei c eine Konstante.

Eine verwandte Regel behandelt Verkettungen: Ist \lim_{x \to a} g(x) = M und ist f an der Stelle M stetig, dann gilt \lim_{x \to a} f(g(x)) = f(M). Deshalb darfst du einen Grenzwert in \sin, e^x, \ln oder eine Quadratwurzel hineinziehen, solange der innere Grenzwert dort landet, wo die äußere Funktion stetig ist.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: ein Polynom. Wende Summen-, Faktor- und Potenzregel Glied für Glied an:

Beispiel 2: ein Quotient. Der Nenner geht gegen 1 + 1 = 2 \ne 0, also gilt die Quotientenregel:

Beispiel 3: gegebene Grenzwerte verknüpfen. Sei \lim_{x \to 4} f(x) = 3 und \lim_{x \to 4} g(x) = -2. Dann gilt

Beispiel 4: wenn die Quotientenregel versagt. Bei \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} geht der Nenner gegen 0, die Quotientenregel sagt also nichts. Vereinfache zuerst und wende die Regeln dann auf den neuen Term an:

Kürzen ist erlaubt, weil der Grenzwert den Funktionswert an der Stelle x = 3 selbst nie verwendet.

Warum direktes Einsetzen aus den Sätzen folgt

Jedes Polynom ist aus Konstanten und x durch Summen, Produkte und Potenzen aufgebaut. Wendest du die Sätze Schritt für Schritt an, erhältst du am Ende immer den Wert des Polynoms an der Stelle a. Für jedes Polynom p gilt also:

Dasselbe gilt für eine gebrochenrationale Funktion \frac{p(x)}{q(x)}, sofern q(a) \ne 0. Diese Abkürzung heißt direktes Einsetzen, und sie ist das Erste, was du bei jedem Grenzwert ausprobieren solltest.

Wann die Grenzwertsätze nicht gelten

Die Sätze verlangen, dass jeder einzelne Grenzwert existiert und endlich ist. Achte auf diese Situationen:

• Ein Nenner, der gegen 0 geht. Geht auch der Zähler gegen 0, liegt der unbestimmte Ausdruck \frac{0}{0} vor. Faktorisiere, erweitere mit dem konjugierten Term oder verwende die Regel von L'Hospital. Geht der Zähler gegen eine Zahl ungleich null, ist der Grenzwert unendlich oder existiert nicht.
• Ein unendlicher Grenzwert. Ausdrücke wie \infty - \infty, 0 \cdot \infty und \frac{\infty}{\infty} haben keinen automatischen Wert. Siehe den Leitfaden zu Grenzwerten im Unendlichen.
• Ein Grenzwert, der nicht existiert. Existiert \lim f(x) nicht, darfst du ihn nicht abspalten. Zum Beispiel ist \lim_{x \to 0} \left[\sin\frac{1}{x} - \sin\frac{1}{x}\right] = 0, obwohl \lim_{x \to 0} \sin\frac{1}{x} nicht existiert.

Häufige Fehler

1. Die Quotientenregel bei \frac{0}{0} anwenden. \frac{0}{0} hinschreiben und aufhören oder das Ergebnis 0 oder 1 nennen, ist falsch. Es zeigt nur an, dass weitere Umformungen nötig sind.
2. Aufteilen, bevor die Existenz geprüft ist. Die Summenregel verlangt, dass beide Grenzwerte existieren. Prüfe das zuerst.
3. Die Bedingung bei Wurzeln vergessen. \lim \sqrt{f(x)} setzt voraus, dass f(x) gegen eine positive Zahl geht (oder von oben gegen 0), damit die Quadratwurzel sinnvoll ist.
4. Einen Grenzwert in eine unstetige Funktion hineinziehen. Die Regel für Verkettungen verlangt, dass die äußere Funktion am inneren Grenzwert stetig ist.

Eine ausführliche Anleitung zu Faktorisieren, Erweitern mit dem konjugierten Term und weiteren Techniken findest du im Leitfaden Grenzwerte berechnen. Wenn Grenzwerte neu für dich sind, beginne mit Was ist ein Grenzwert?.