Logarithmusfunktion log_b(x): Graph, Regeln, Ableitung, Integral

Eine Logarithmusfunktion \log_b x liefert den Exponenten, mit dem man die Basis b potenzieren muss, um x zu erhalten. Zum Beispiel ist \log_2 8 = 3, weil 2^3 = 8 ist. Logarithmen machen Exponentialfunktionen rückgängig, und in der Analysis ist jeder Logarithmus ein konstantes Vielfaches des natürlichen Logarithmus.

Definition und Formel

Gebräuchliche Basen: \log_{10}x (oft als \log x geschrieben), \ln x = \log_e x und \log_2 x in der Informatik.

Graphen von Logarithmusfunktionen

Wichtige Eigenschaften

• Definitionsbereich (0, \infty), Wertebereich alle reellen Zahlen.
• Verläuft durch (1, 0) und (b, 1), für jede Basis.
• Senkrechte Asymptote x = 0.
• Streng monoton steigend für b > 1, streng monoton fallend für 0 < b < 1.
• Umkehrfunktion von b^x: b^{\log_b x} = x für x > 0 und \log_b(b^x) = x für alle x. Der Graph ist der an y = x gespiegelte Graph von b^x.
• Langsames Wachstum: Für b > 1 gilt \log_b x \to \infty, aber langsamer als jede positive Potenz von x.

Logarithmusgesetze

Für x, y > 0:

Ableitung von log_b x

Durch den Basiswechsel wird daraus ein konstantes Vielfaches von \ln x:

Mit der Kettenregel gilt \frac{d}{dx}\log_b g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)\ln b}. Für b = e ist \ln e = 1, und du erhältst wieder \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}.

Integral von log_b x

Rechenbeispiele

Beispiel 1: berechnen. \log_3 81 = 4, weil 3^4 = 81 ist, und \log_2\frac{1}{8} = -3, weil 2^{-3} = \frac{1}{8} ist.

Beispiel 2: Ableitung. \frac{d}{dx}\log_{10}x = \frac{1}{x\ln 10}. Bei x = 10 ist die Steigung \frac{1}{10\ln 10} \approx 0.0434.

Beispiel 3: Kettenregel. \frac{d}{dx}\log_2(x^2 + 1) = \frac{2x}{(x^2 + 1)\ln 2}.

Beispiel 4: zuerst die Logarithmusgesetze anwenden. \frac{d}{dx}\log_5\left(x^3\sqrt{x}\right) = \frac{d}{dx}\tfrac{7}{2}\log_5 x = \frac{7}{2x\ln 5}.

Beispiel 5: eine Exponentialgleichung lösen. Um 2^x = 10 zu lösen, wendet man \log_2 auf beide Seiten an: x = \log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3.32.

Häufige Fehler

1. Das \ln b in der Ableitung vergessen. \frac{d}{dx}\log_{10}x \ne \frac{1}{x}.
2. Den Logarithmus einer Summe aufteilen. \log_b(x + y) \ne \log_b x + \log_b y.
3. \frac{\log_b x}{\log_b y} = \log_b(x - y) schreiben. Das Quotientengesetz gilt für den Logarithmus eines Quotienten, nicht für einen Quotienten von Logarithmen.
4. Den Basiswechsel umdrehen. Es heißt \frac{\ln x}{\ln b}, nicht \frac{\ln b}{\ln x}.

Zusammenhänge

Logarithmen verwandeln Exponentialgleichungen in lineare Gleichungen und Produkte in Summen. Darauf beruht das logarithmische Differenzieren. Sie tauchen außerdem im Integral von \frac{1}{x} und in vielen uneigentlichen Integralen auf. Die Ableitungsregeln im direkten Vergleich mit Exponentialfunktionen findest du im Leitfaden zu Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen.