Natürliche Exponentialfunktion eˣ: Graph, Ableitung, Integral und e

Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x ist die Exponentialfunktion, deren Basis die eulersche Zahl e \approx 2.71828 ist. Sie ist die wichtigste Funktion der Analysis überhaupt, denn sie ist ihre eigene Ableitung: Die Rate, mit der e^x wächst, ist immer gleich ihrem aktuellen Wert.

Formel und die Zahl e

Jede Exponentialfunktion b^x hat bei x = 0 eine Steigung, die proportional zu ihrer Höhe ist. Die Basis e ist die eine Wahl, bei der die Steigung bei x = 0 genau 1 beträgt. Deshalb sind die Ableitungen von e^x so einfach.

Graph von eˣ

Wichtige Eigenschaften

• Definitionsbereich alle reellen Zahlen, Wertebereich (0, \infty): e^x ist immer positiv.
• Immer streng monoton steigend und immer linksgekrümmt (konvex), da f'(x) = f''(x) = e^x > 0 gilt.
• Waagerechte Asymptote y = 0: \lim_{x \to -\infty}e^x = 0, während \lim_{x \to \infty}e^x = \infty gilt.
• Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus: e^{\ln x} = x für x > 0 und \ln(e^x) = x für alle x. Siehe den natürlichen Logarithmus.
• Potenzgesetze: e^{a+b} = e^ae^b, e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}, (e^a)^b = e^{ab}, e^0 = 1.
• Wächst schneller als jede Potenz: \lim_{x \to \infty}\frac{x^n}{e^x} = 0 für jedes n.
• Potenzreihe: e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots, gültig für alle x.

Ableitung von eˣ

Mit der Kettenregel:

Der Exponent wird nie als Faktor nach vorne gezogen. Das wäre die Potenzregel, und die gilt hier nicht.

Integral von eˣ

Rechenbeispiele

Beispiel 1. \frac{d}{dx}e^{3x} = 3e^{3x}.

Beispiel 2: Kettenregel. \frac{d}{dx}e^{x^2} = 2x\,e^{x^2}.

Beispiel 3: Produktregel. \frac{d}{dx}\left(x e^x\right) = e^x + xe^x = (1 + x)e^x.

Beispiel 4: bestimmtes Integral. \int_0^{\ln 2}e^x\,dx = e^{\ln 2} - e^0 = 2 - 1 = 1.

Beispiel 5: Substitutionsregel. Mit u = x^2 gilt \int 2x\,e^{x^2}\,dx = e^{x^2} + C.

Beispiel 6: exponentielles Wachstum. Die Lösung von y' = ky mit y(0) = y_0 ist y = y_0e^{kt}. Deshalb taucht e bei Bevölkerungswachstum, radioaktivem Zerfall und stetiger Verzinsung auf.

Häufige Fehler

1. Die Potenzregel verwenden. \frac{d}{dx}e^x \ne xe^{x-1}.
2. Den Faktor aus der Kettenregel vergessen. \frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x}, nicht e^{5x}.
3. e^{kx} integrieren, ohne durch k zu teilen. \int e^{4x}\,dx = \frac{1}{4}e^{4x} + C.
4. e^2 wie eine Variable behandeln. e^2 ist eine Konstante, ihre Ableitung ist also 0.
5. e^{a+b} = e^a + e^b schreiben. Exponenten werden addiert, wenn man multipliziert: e^{a+b} = e^ae^b.

Zusammenhänge

e^x ist die Umkehrfunktion von \ln x und der Grundbaustein der Hyperbelfunktionen. Jede Exponentialfunktion lässt sich mit der Basis e schreiben: b^x = e^{x\ln b}. Eine ausführliche Anleitung mit mehr Übung bietet der Leitfaden zu Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen, und die Reihenentwicklung findest du unter Taylorreihen.