Potenzregel beim Ableiten: Formel, Beispiele und Beweis
Die Potenzregel: Die Ableitung von x^n ist n·x^(n−1). Formel, Beispiele mit negativen und gebrochenen Exponenten, ein kurzer Beweis und typische Fehler.
Ableitungsregeln Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Anwendbar auf
- Jede Potenz von x mit konstantem Exponenten n (positiv, negativ, Bruch oder Dezimalzahl)
- In Worten
- Exponent als Faktor nach vorne ziehen, dann den Exponenten um eins verringern
- Nicht anwendbar auf
- Exponentialfunktionen wie 2^x oder e^x, bei denen die Variable im Exponenten steht
- Gegenstück beim Integrieren
- \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C für n \ne -1
- Verwandte Regeln
- Faktorregel, Summenregel, Kettenregel
Auf dieser Seite
Die Potenzregel ist die erste Ableitungsregel, die die meisten lernen, und die, die sie am häufigsten verwenden. Mit ihr leitest du jede Potenz von x in einem Schritt ab, ganz ohne Grenzwerte.
Die Formel der Potenzregel
Für jeden konstanten Exponenten n gilt:
Zwei Handgriffe: Exponent als Faktor nach vorne ziehen, dann den Exponenten um eins verringern.
Beispiele
| Funktion | Umgeschrieben | Ableitung |
|---|---|---|
| x^5 | x^5 | 5x^4 |
| x | x^1 | 1 |
| 7 | 7x^0 | 0 |
| \frac{1}{x^2} | x^{-2} | -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} |
| \sqrt{x} | x^{1/2} | \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} |
| \sqrt[3]{x^2} | x^{2/3} | \frac{2}{3}x^{-1/3} |
Beispiel: ein Polynom. Kombiniere die Potenzregel mit der Summenregel und der Faktorregel:
Beispiel: ein negativer Exponent. Um f(x) = \frac{3}{x^4} abzuleiten, schreibst du die Funktion als 3x^{-4}:
Beachte, dass der Exponent von -4 zu -5 wird und nicht zu -3. Wer von einer negativen Zahl eins abzieht, macht sie noch negativer.
Wann man die Potenzregel verwendet
Verwende sie immer, wenn nach dem Umschreiben eine Variable mit einem konstanten Exponenten dasteht. In der Praxis heißt das:
- Polynome, Summand für Summand;
- Wurzeln, nachdem du sie in gebrochene Exponenten umgewandelt hast;
- Terme mit x im Nenner, nachdem du sie in negative Exponenten umgewandelt hast;
- die äußere Schicht einer Funktion wie (x^2+1)^5, zusammen mit der Kettenregel.
Enthält der Exponent ein x, wie bei x^x oder 3^x, ist die Potenzregel das falsche Werkzeug. Dafür brauchst du die Regeln für Exponentialfunktionen oder das logarithmische Differenzieren.
Die Potenzregel rückwärts: Integration
Integrieren macht Ableiten rückgängig, also hat die Potenzregel ein Spiegelbild. Um x^n zu integrieren, erhöhst du den Exponenten um eins und teilst dann durch den neuen Exponenten:
Zum Beispiel ist \int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C. Die einzige Ausnahme ist n = -1, dort gilt \int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C. Siehe die umgekehrte Potenzregel.
Warum die Potenzregel gilt
Für einen ganzzahligen Exponenten multiplizierst du (x+h)^n mit dem binomischen Lehrsatz aus, und zwar innerhalb der Definition der Ableitung über den Grenzwert:
Für h \to 0 verschwindet jeder Term, der ein h enthält, und es bleibt nx^{n-1}. Mit logarithmischem Differenzieren lässt sich die Regel auf alle reellen Exponenten erweitern.
Häufige Fehler
- Eins abziehen, bevor der Exponent nach vorne kommt. \frac{d}{dx}x^4 ist 4x^3, nicht 3x^3.
- Sie auf Exponentialfunktionen anwenden. \frac{d}{dx}2^x \ne x \cdot 2^{x-1}. Die Variable steht im Exponenten, also brauchst du die Regel für Exponentialfunktionen.
- Nicht zuerst umschreiben. Auf \frac{1}{x^2} kannst du die Potenzregel erst anwenden, wenn du es als x^{-2} schreibst.
- Die Kettenregel vergessen. Für (3x+1)^4 liefert die Potenzregel nur einen Teil der Antwort. Du musst zusätzlich mit der inneren Ableitung 3 multiplizieren. Siehe die Kettenregel.
Eine ausführlichere Erklärung mit weiteren Übungsaufgaben findest du im vollständigen Leitfaden zur Potenzregel.
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