TUM Analysis 2 (MA0002): Themen, Lernhilfe und Übungen

Analysis 2 (MA0002) ist an der Technischen Universität München das zweite Analysis-Modul im Bachelor Mathematik. Es liegt im zweiten Fachsemester, umfasst 9 Credits und führt von Funktionen einer Variablen zur Analysis im \mathbb{R}^n. Diese Lernhilfe zeigt, welche Themen das Modul laut Modulbeschreibung abdeckt und wo du die passenden Rechentechniken auf PracticeCalculus üben kannst.

Was Analysis 2 an der TUM abdeckt

Die Modulbeschreibung in TUMonline nennt als Inhalt die Analysis im \mathbb{R}^n. Dazu gehören die Differentiation von Vektorfeldern einschließlich Taylorentwicklung, grundlegende Begriffe der Topologie, Kurven und Grundbegriffe der Vektoranalysis wie Gradient, Divergenz und Rotation. Weiter stehen der Banachsche Fixpunktsatz, implizite Funktionen und Untermannigfaltigkeiten des \mathbb{R}^n, Extremwertprobleme mit der Lagrangeschen Multiplikatorregel sowie gewöhnliche Differentialgleichungen auf dem Plan. Als Literatur werden Königsbergers Analysis 2 und Rudins Principles of Mathematical Analysis genannt.

Geprüft wird laut Beschreibung mit Rechen- und Beweisaufgaben sowie Verständnisfragen. Es reicht also nicht, Gradienten ausrechnen zu können. Du musst auch erklären können, warum etwa eine Funktion mit stetigen partiellen Ableitungen total differenzierbar ist. PracticeCalculus deckt die Rechenseite ab, damit du die Begriffe auf sicherem Fundament lernen kannst.

Themenübersicht Analysis 2

Für Topologie des \mathbb{R}^n, den Banachschen Fixpunktsatz, den Satz über implizite Funktionen und Untermannigfaltigkeiten gibt es bei PracticeCalculus noch keine eigenen Lektionen. Bei den Differentialgleichungen decken unsere Lektionen nur separierbare Gleichungen und einfache Wachstumsmodelle ab, keine Existenz- und Eindeutigkeitssätze.

Eckdaten aus der Studienordnung

Analysis 2 baut auf Analysis 1 (MA0001) auf. Im dritten Semester folgt Analysis 3 (MA0003) mit 9 Credits und einer 90-minütigen Klausur. Das öffentliche Analysis-2-Skript der TUM-Mathematik von 2025 sagt ausdrücklich, dass das Integrieren im Mehrdimensionalen erst in Analysis 3 gelernt wird. Dasselbe Skript endet mit einem Kapitel zum Kurvenintegral, das du mit unserer Lektion zu Kurvenintegralen von Vektorfeldern vorbereiten kannst.

Beispielaufgaben auf Analysis-2-Niveau

1. Gradient und Richtungsableitung. Für f(x,y) = x^2 y + e^{y} im Punkt (1, 0) gilt

In Richtung v = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) ist die Richtungsableitung \partial_v f(1,0) = 2 \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{5}.

2. Extremum unter Nebenbedingung. Maximiere f(x,y) = xy unter x + y = 4. Aus \nabla f = \lambda \nabla g folgt

3. Divergenz und Rotation. Für F(x,y,z) = (yz,\; xz,\; xy) ist

also ist F ein Gradientenfeld, nämlich F = \nabla (xyz).

So kommst du gut durch Analysis 2

• Bilder im Kopf haben. Die Modulbeschreibung verlangt eine anschauliche Vorstellung. Skizziere Niveaulinien und Gradienten, bevor du rechnest.
• Rechentechnik automatisieren. Kurze Einheiten zu partiellen Ableitungen und Lagrange-Multiplikatoren machen die Standardaufgaben schnell.
• Beweise nicht aufschieben. Die großen Sätze wie implizite Funktionen sollte man nicht erst kurz vor der Klausur verstehen wollen.
• Formeln sammeln. Unser Formelblatt ist ein guter Grundstock für die eigene Übersicht.
• Prüfung planen. Die Anleitung zur Prüfungsvorbereitung hilft, die letzten Wochen sinnvoll aufzuteilen.

Tipp: Der Hesse-Test für lokale Extrema ist im Kern die Taylorentwicklung zweiter Ordnung. Wer das einmal verstanden hat, muss sich die Fallunterscheidungen kaum noch merken.