Eigenschaften bestimmter Integrale: Regeln, Symmetrie, Beispiele
Die Eigenschaften bestimmter Integrale: Grenzen vertauschen, Intervalladditivität, Symmetrie gerader und ungerader Funktionen und Abschätzungen, mit Beispielen.
Integrationsregeln Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Gleiche Grenzen
- \int_a^a f(x)\,dx = 0
- Vertauschte Grenzen
- \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx
- Konstante
- \int_a^b k\,dx = k(b - a)
- Ungerade Funktion
- \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0
- Gerade Funktion
- \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx
- Monotonie
- Gilt f(x) \le g(x) auf [a, b], so ist \int_a^b f\,dx \le \int_a^b g\,dx
Auf dieser Seite
Die Eigenschaften bestimmter Integrale sind die Regeln, mit denen du \int_a^b f(x)\,dx umformen kannst, ohne es jedes Mal neu zu berechnen: Grenzen vertauschen, Intervalle aufteilen, Symmetrie nutzen und die Größe abschätzen. Sie folgen alle aus der Deutung des Integrals als orientierte Fläche oder aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Die Eigenschaften
Wir setzen voraus, dass f und g auf den betrachteten Intervallen integrierbar sind.
| Eigenschaft | Aussage |
|---|---|
| Gleiche Grenzen | \int_a^a f(x)\,dx = 0 |
| Vertauschte Grenzen | \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx |
| Konstante | \int_a^b k\,dx = k(b-a) |
| Linearität | \int_a^b [\alpha f + \beta g]\,dx = \alpha\int_a^b f\,dx + \beta\int_a^b g\,dx |
| Intervalladditivität | \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx = \int_a^c f\,dx |
| Monotonie | f \le g auf [a,b] \Rightarrow \int_a^b f\,dx \le \int_a^b g\,dx |
| Abschätzung | m \le f \le M auf [a,b] \Rightarrow m(b-a) \le \int_a^b f\,dx \le M(b-a) |
| Ungerade Symmetrie | f(-x) = -f(x) \Rightarrow \int_{-a}^{a} f\,dx = 0 |
| Gerade Symmetrie | f(-x) = f(x) \Rightarrow \int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^a f\,dx |
Monotonie und Abschätzung setzen a < b voraus. Die Intervalladditivität gilt dank der Regel für vertauschte Grenzen für jede Reihenfolge von a, b und c, solange f auf den Intervallen integrierbar ist.
Warum sie gelten
Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt \int_a^b f\,dx = F(b) - F(a). Jede Eigenschaft ist von dort aus eine Zeile Algebra:
- gleiche Grenzen: F(a) - F(a) = 0;
- vertauschte Grenzen: F(a) - F(b) = -\left(F(b) - F(a)\right);
- Intervalladditivität: \left(F(b) - F(a)\right) + \left(F(c) - F(b)\right) = F(c) - F(a).
Die Linearität hat eine eigene Seite: Linearität des Integrals.
Symmetrie: gerade und ungerade Funktionen
![Orientierte Fläche der ungeraden Funktion y = x³ − 2x auf [−1,5; 1,5]](https://practicecalculus.com/de/regeln/eigenschaften-bestimmter-integrale/graphs/0.svg)
Eine ungerade Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, also hat jedes Stück positiver Fläche ein passendes Stück negativer Fläche. Eine gerade Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, also sind beide Hälften gleich und du kannst eine davon verdoppeln. Wer zuerst die Symmetrie prüft, macht aus einer langen Rechnung oft eine einzige Zeile.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: ungerade Symmetrie. x^5 - 4x^3 + \sin x ist ungerade, also gilt
Beispiel 2: gerade Symmetrie. x^2 ist gerade, also gilt
Beispiel 3: Intervalladditivität und vertauschte Grenzen. Gegeben sind \int_0^5 f(x)\,dx = 10 und \int_0^2 f(x)\,dx = 3:
Beispiel 4: ein Betrag. Teile dort, wo der Ausdruck im Betrag sein Vorzeichen wechselt. Auf [-1, 0] ist \lvert x\rvert = -x, auf [0, 2] ist \lvert x\rvert = x:
Beispiel 5: Abschätzen mit Schranken. Auf [0, 1] gilt e^{-1} \le e^{-x^2} \le 1, also
Dieses Integral hat keine elementare Stammfunktion, und trotzdem grenzen die Schranken es ein. Sein tatsächlicher Wert ist etwa 0.747.
Häufige Fehler
- Symmetrie auf einem nicht symmetrischen Intervall nutzen. \int_{-1}^{2} x^3\,dx ist nicht 0. Das Intervall muss die Form [-a, a] haben.
- Eine Funktion ungeprüft für ungerade halten. x^3 + 1 ist weder gerade noch ungerade, also ist \int_{-1}^{1} (x^3 + 1)\,dx = 2 und nicht 0.
- Den Vorzeichenwechsel vergessen, wenn man die Grenzen vertauscht.
- Orientierte Fläche mit Gesamtfläche verwechseln. \int_{-1}^{1} x\,dx = 0, aber die gesamte schraffierte Fläche ist 1. Für Flächen integrierst du \lvert f(x)\rvert, wie bei der Fläche zwischen Kurven.
Wie diese Eigenschaften mit Riemann-Summen und dem Berechnen von Integralen zusammenhängen, zeigen die Leitfäden zu Riemann-Summen und zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Jetzt üben
Das bestimmte Integral als Fläche
Löse echte Aufgaben zu diesem Thema mit sofortigem Feedback, Tipps und einem Schritt-für-Schritt-Lösungsweg zu jeder Antwort. Kostenlos, ohne Registrierung.
Diese Lektion üben