Regel von L'Hospital: Formel, Voraussetzungen und Beispiele
Die Regel von L'Hospital berechnet Grenzwerte der Form 0/0 und ∞/∞, indem Zähler und Nenner abgeleitet werden. Voraussetzungen, Beispiele, weitere Formen.
Grenzwertsätze Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Gilt für
- Grenzwerte der unbestimmten Form \frac{0}{0} oder \frac{\pm\infty}{\pm\infty}
- In Worten
- Zähler und Nenner getrennt ableiten, dann erneut den Grenzwert bilden
- Außerdem nötig
- Der neue Grenzwert \lim \frac{f'(x)}{g'(x)} existiert oder ist \pm\infty
- Funktioniert bei
- x \to a, einseitigen Grenzwerten und x \to \pm\infty
- Weitere Formen
- 0 \cdot \infty, \infty - \infty, 1^\infty, 0^0, \infty^0 nach Umformen
Auf dieser Seite
Die Regel von L'Hospital berechnet Grenzwerte von Brüchen, die beim Einsetzen \frac{0}{0} oder \frac{\infty}{\infty} ergeben. Statt des ursprünglichen Bruchs bildest du den Grenzwert der Ableitung des Zählers geteilt durch die Ableitung des Nenners. Oft ist das der schnellste Weg bei einem Grenzwert, den man algebraisch nur schwer vereinfachen kann.
Die Regel und ihre Voraussetzungen
Seien f und g auf einem offenen Intervall um a differenzierbar (eventuell außer in a), und sei dort g'(x) \ne 0 für x \ne a. Gilt
dann ist
sofern der Grenzwert rechts existiert oder \pm\infty ist. Dasselbe gilt für einseitige Grenzwerte und für x \to \infty oder x \to -\infty.
Existiert der Grenzwert rechts nicht, liefert die Regel keine Aussage. Der ursprüngliche Grenzwert kann trotzdem existieren.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: \frac{0}{0}. Bei x = 0 ist \frac{\sin x}{x} von der Form \frac{0}{0}:
(Die Ableitung von \sin x wird selbst mit diesem Grenzwert bewiesen, in einer Beweisvorlesung würdest du deshalb den Sandwich-Satz verwenden. Zum Rechnen ist die Abkürzung in Ordnung.)
Beispiel 2: die Regel zweimal anwenden. Jeder Schritt ist bis zum letzten noch \frac{0}{0}:
Beispiel 3: \frac{\infty}{\infty}. Für x \to \infty wachsen sowohl \ln x als auch x über alle Grenzen:
Also wächst x schneller als \ln x.
Beispiel 4: 0 \cdot \infty. Schreibe das Produkt zuerst als Bruch. Für x \to 0^+ hat x \ln x die Form 0 \cdot (-\infty):
Weitere unbestimmte Ausdrücke
| Form | So formst du um |
|---|---|
| 0 \cdot \infty | Schreibe fg als \frac{f}{1/g} oder \frac{g}{1/f} |
| \infty - \infty | Zu einem Bruch zusammenfassen (Hauptnenner oder konjugierter Term) |
| 1^\infty, 0^0, \infty^0 | Setze y = f^g, bilde \ln y = g \ln f, bestimme diesen Grenzwert und wende dann die Exponentialfunktion an |
Zum Beispiel erhältst du mit y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x den Ausdruck \ln y = \frac{\ln(1 + 1/x)}{1/x}, der für x \to \infty die Form \frac{0}{0} hat. Die Regel liefert \ln y \to 1, also y \to e.
Häufige Fehler
- Die Regel anwenden, obwohl keine unbestimmte Form vorliegt. \lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{1}{2} durch direktes Einsetzen. Ableiten würde fälschlich 1 ergeben.
- Die Quotientenregel verwenden. Leite f und g getrennt ab. Berechne nicht die Ableitung von \frac{f}{g} mit der Quotientenregel.
- Das Umformen überspringen. Die Regel gilt nur für Brüche. Verwandle Produkte, Differenzen und Potenzen zuerst in einen Bruch.
- Die Form nicht erneut prüfen. Vergewissere dich vor jeder weiteren Anwendung, dass der neue Grenzwert noch \frac{0}{0} oder \frac{\infty}{\infty} ist.
Weitere Beispiele, auch zu Grenzwerten im Unendlichen und Potenzformen, findest du im ausführlichen Leitfaden zur Regel von L'Hospital.
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