Satz von Green: Aussage, Orientierung und Rechenbeispiele

Der Satz von Green verknüpft ein Kurvenintegral über eine geschlossene Kurve in der Ebene mit einem Doppelintegral über das Gebiet, das sie einschließt. Er besagt, dass die gesamte Zirkulation entlang des Randes gleich der Summe aller kleinen Zirkulationen im Inneren ist.

Aussage des Satzes von Green

Es seien

1. C eine positiv orientierte (gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene), stückweise glatte, einfach geschlossene Kurve in der Ebene, und
2. D das von C berandete Gebiet, und
3. P(x, y) und Q(x, y) Funktionen mit stetigen partiellen Ableitungen auf einem offenen Gebiet, das D enthält.

Dann gilt

In Vektorschreibweise mit \mathbf{F} = \langle P, Q \rangle ist die linke Seite die Zirkulation \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}, und der Integrand rechts ist die skalare Rotation Q_x - P_y.

Was der Satz von Green bedeutet

Zerlege D in winzige Quadrate und addiere die Zirkulation von \mathbf{F} um jedes einzelne. Jede innere Kante wird von zwei benachbarten Quadraten in entgegengesetzter Richtung durchlaufen, diese Beiträge heben sich also auf. Übrig bleibt nur der äußere Rand. Gleichzeitig ist die Zirkulation um ein winziges Quadrat ungefähr (Q_x - P_y) mal seine Fläche. Wenn man auf beide Arten aufsummiert, erhält man den Satz von Green.

Warum jede Voraussetzung wichtig ist

Orientierung. Durchläuft man C im Uhrzeigersinn, kehrt sich das Vorzeichen des Kurvenintegrals um, während das Doppelintegral gleich bleibt. Prüfe also immer die Richtung.

Stetigkeit im ganzen Inneren. Das Wirbelfeld

hat Q_x - P_y = 0 in jedem Punkt außer dem Ursprung, wo es nicht definiert ist. Über den Einheitskreis x = \cos t, y = \sin t ergibt das Kurvenintegral \int_0^{2\pi} (\sin^2 t + \cos^2 t)\,dt = 2\pi, nicht 0. Der Satz von Green ist nicht anwendbar, weil der Ursprung im Inneren von D liegt und P und Q dort nicht einmal definiert sind.

Geschlossene Kurve. Eine Kurve, die sich nicht schließt, umrandet kein Gebiet, also sagt der Satz darüber nichts aus.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Berechne \oint_C xy\,dx + x^2\,dy um das Gebiet im Graphen.

Schritt 1. P = xy und Q = x^2, also Q_x - P_y = 2x - x = x.

Schritt 2. Das Gebiet ist x^2 \le y \le x für 0 \le x \le 1:

Direkte Kontrolle. Entlang y = x^2 (x = t, 0 \to 1) ist der Integrand t^3\,dt + t^2(2t\,dt) = 3t^3\,dt, das liefert \frac{3}{4}. Entlang y = x zurück von (1, 1) nach (0, 0) ist er 2t^2\,dt mit t von 1 bis 0, das liefert -\frac{2}{3}. Insgesamt ergibt sich \frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{1}{12}. Dasselbe Ergebnis, aber mehr Arbeit.

Beispiel 2: Fläche einer Ellipse. Wähle P = -\frac{y}{2} und Q = \frac{x}{2}, dann ist Q_x - P_y = 1 und das Doppelintegral ist die Fläche:

Für die Ellipse x = a\cos t, y = b\sin t, 0 \le t \le 2\pi gilt x\,dy - y\,dx = (ab\cos^2 t + ab\sin^2 t)\,dt = ab\,dt. Also ist A = \frac{1}{2}\cdot 2\pi ab = \pi ab.

Beispiel 3: ein kompliziertes Feld, eine einfache Antwort. Berechne \oint_C (x^2 - y)\,dx + (x + y^3)\,dy über den Einheitskreis gegen den Uhrzeigersinn. Hier ist Q_x - P_y = 1 - (-1) = 2, also ist das Integral 2 \cdot \text{area} = 2\pi.

Häufige Fehler

1. Reihenfolge im Integranden vertauschen. Es heißt Q_x - P_y, nicht P_y - Q_x oder P_x - Q_y.
2. Orientierung ignorieren. Eine Kurve im Uhrzeigersinn liefert das Negative des Doppelintegrals.
3. Den Satz über eine Singularität hinweg anwenden. Prüfe, dass P und Q auf ganz D glatt sind, nicht nur auf C.

Verwandte Sätze und Leitfäden

Der Satz von Green ist der ebene Spezialfall des Satzes von Stokes, und seine Flussform ist der zweidimensionale Gaußsche Integralsatz. Da für Gradientenfelder nach dem Satz von Schwarz Q_x - P_y = 0 gilt, haben konservative Felder die Zirkulation null. Zu den Doppelintegralen auf der rechten Seite siehe Doppelintegrale.