Grenzwerte im Unendlichen: Aufgaben mit Lösungen

Diese Aufgaben zu Grenzwerten im Unendlichen beginnen mit gebrochenrationalen Funktionen und gehen dann zu Wurzeln, der Form \infty - \infty, Exponentialfunktionen und waagerechten Asymptoten über. Rechne jede Aufgabe, bevor du nachschaust. Die Ergebnisse stehen direkt nach der Liste, danach folgen die vollständigen Lösungen.

Die Abkürzung für gebrochenrationale Funktionen, wobei n der Grad des Zählers und m der Grad des Nenners ist:

Die Begründung findest du im Leitfaden zu Grenzwerten im Unendlichen.

Aufgaben

Gebrochenrationale Funktionen

1. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2 + 2x}{5x^2 - 1}
2. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{4x + 1}{x^2 + 3}
3. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^3 - 2}{4x^2 + x}
4. \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^3 - x}{1 - 6x^3}

Wurzeln

5. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9x^2 + 1}}{2x + 5}
6. \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{9x^2 + 1}}{2x + 5}
7. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2 + 6x} - x\right)

Trigonometrische und Exponentialfunktionen

8. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}
9. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2e^x + 3}{e^x - 1}
10. \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{2e^x + 3}{e^x - 1}
11. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\arctan(x^2)

Waagerechte Asymptoten

12. Bestimme alle waagerechten Asymptoten von f(x) = \dfrac{5x - 2}{\sqrt{x^2 + 4}}.

Ergebnisse

Lösungen Schritt für Schritt

1. Die Grade stimmen überein, also teile Zähler und Nenner durch x^2:

2. Der Nenner hat den höheren Grad. Teile durch x^2:

3. Der Zähler hat den höheren Grad. Teile durch x^2:

Der Zähler wächst unbeschränkt, während der Nenner gegen 4 geht, also ist der Grenzwert \infty.

4. Wieder gleiche Grade. Teile durch x^3:

Die Richtung -\infty ändert hier nichts am Ergebnis, denn jeder übrige Term geht trotzdem gegen 0.

5. Ziehe x^2 aus der Wurzel. Für x > 0 ist \sqrt{x^2} = x:

6. Dieselbe Funktion, aber jetzt ist x < 0, also \sqrt{x^2} = |x| = -x:

7. Das ist eine Form \infty - \infty. Erweitere mit dem konjugierten Ausdruck:

Teile Zähler und Nenner durch x:

8. Verwende den Sandwich-Satz. Wegen -1 \le \sin x \le 1 gilt für x > 0:

Beide äußeren Funktionen gehen gegen 0, also ist der Grenzwert 0.

9. Für x\to\infty ist e^x der dominante Term. Teile durch e^x:

10. Für x\to -\infty gilt e^x\to 0, also setze einfach diesen Wert ein:

11. Für x\to\infty gilt x^2\to\infty, und \arctan u\to\frac{\pi}{2} für u\to\infty. Der Grenzwert ist also \frac{\pi}{2}.

12. Ziehe \sqrt{x^2} = |x| aus der Wurzel: \sqrt{x^2 + 4} = |x|\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}.

Für x\to\infty ist |x| = x:

Für x\to -\infty ist |x| = -x, das kehrt das Vorzeichen um und liefert -5. Der Graph hat zwei waagerechte Asymptoten: y = 5 rechts und y = -5 links.

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• \frac{\infty}{\infty} = 1 schreiben. In Aufgabe 1 wachsen Zähler und Nenner beide, aber das Ergebnis ist \frac{3}{5}. Teile durch die höchste Potenz, um zu sehen, was wirklich passiert.
• \sqrt{x^2} = |x| vergessen. Die Aufgaben 6 und 12 liefern das falsche Vorzeichen, wenn du \sqrt{x^2} für negative x als x behandelst.
• \infty - \infty = 0 schreiben. Aufgabe 7 sieht so aus, als müsste 0 herauskommen, aber der konjugierte Ausdruck zeigt, dass der Grenzwert 3 ist.
• Annehmen, dass beide Richtungen gleich sind. Die Aufgaben 9 und 10 haben dieselbe Funktion und liefern 2 und -3. Exponentialfunktionen verhalten sich auf beiden Seiten ganz verschieden.

Weiter üben

Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenztes Üben mit immer neuen Zahlen und sofortigem Feedback probiere die Lektion zu Grenzwerten im Unendlichen und danach die gemischte Übung zu Grenzwerten. Wird ein Grenzwert im Unendlichen mit Exponentialfunktionen und Logarithmen zu \frac{\infty}{\infty}, zeigen dir die Aufgaben zur Regel von L'Hospital den schnelleren Weg.