MAT1630 Cálculo III UC Chile: temario, guía y práctica

MAT1630 Cálculo III cierra la secuencia de cálculo de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Según el programa oficial, es un curso teórico-práctico de 10 créditos sobre las bases del cálculo vectorial: curvas y superficies, integrales de línea y de superficie, y los teoremas de Green, Stokes y de la divergencia, con aplicaciones a problemas concretos. Como los cursos anteriores, tiene cátedra, ayudantías y un laboratorio donde se usan herramientas computacionales. Esta guía relaciona cada unidad con lecciones de práctica para que llegues preparado a las interrogaciones.

Qué cubre MAT1630 Cálculo III

El programa tiene cuatro unidades:

1. Curvas: funciones vectoriales; parametrización, derivada, curvatura, torsión y vectores tangente, normal y binormal; longitud de arco.
2. Campos vectoriales e integrales de línea: campos escalares, vectoriales y gradientes, integral de línea de campos escalares y vectoriales, teorema de Green.
3. Campos vectoriales e integrales de superficie I: parametrización de superficies y plano tangente, área de superficies e integral de superficie.
4. Campos vectoriales e integrales de superficie II: ley de Gauss, teorema de Stokes y teorema de la divergencia.

Es el contenido de la parte final de un Cálculo 3 estándar. Las derivadas parciales y las integrales múltiples se ven antes, en MAT1620, así que conviene llegar con esos temas firmes.

Mapa de temas de MAT1630

La secuencia de cálculo en la UC

Si te falta base en integrales múltiples, vuelve a la guía de MAT1620 Cálculo II antes de empezar.

Ejemplos de problemas al nivel de MAT1630

1. Longitud de arco de una hélice. Para \mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, t) con 0 \le t \le 2\pi, se tiene |\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{2}, así que

2. Campo conservativo. El campo \mathbf{F} = (2xy,\; x^2) es el gradiente de f(x, y) = x^2 y. Por eso, para cualquier curva de (0, 0) a (1, 2):

3. Teorema de Green. Con \mathbf{F} = (-y, x) sobre el disco unitario, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2, y la circulación vale 2 \cdot \pi = 2\pi.

Cómo te puede ir bien en MAT1630

• Parametriza con soltura. Casi todos los ejercicios empiezan parametrizando una curva o una superficie. Practica circunferencias, segmentos, esferas, cilindros y gráficos de funciones hasta hacerlo sin pensar.
• Revisa si el campo es conservativo. Antes de calcular una integral de línea larga, comprueba si el campo es un gradiente; muchas veces el problema se resuelve en una línea.
• Elige el teorema adecuado. Green, Stokes y la divergencia convierten integrales difíciles en otras más simples. Pregúntate siempre si la curva o la superficie es cerrada.
• Cuida la orientación. Un signo mal puesto en la normal cambia el resultado. Dibuja la orientación en cada problema.
• Mantén el ritmo. Usa los ejercicios de práctica y nuestra guía para preparar un examen de cálculo.

Consejo: los tres grandes teoremas dicen lo mismo en distintas dimensiones: la integral de una derivada sobre una región es igual a una integral sobre su borde. Verlo así ayuda a recordar cuál usar.