Derivada de arctan x: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de arctan x es 1/(1 + x²). Demostración a partir de tan y = x, ejemplos con la regla de la cadena como arctan(2x) y arctan(x²), y gráfica.
Derivadas de trigonométricas inversas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- \dfrac{1}{1 + x^2} para todo x real
- Con la regla de la cadena
- \dfrac{d}{dx}\arctan u = \dfrac{u'}{1 + u^2}
- Dominio de arctan x
- todos los números reales
- Recorrido de arctan x
- \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)
- Versión para integrales
- \int \frac{1}{1 + x^2}\,dx = \arctan x + C
En esta página
La derivada de \arctan x es \dfrac{1}{1 + x^2}. A diferencia de arcsen y arccos, no hay raíz cuadrada ni restricción de dominio: la fórmula funciona para todo número real.
Gráfica de arctan x y de su derivada
La derivada es una curva en forma de campana que siempre es positiva, así que \arctan x siempre crece. Como la derivada tiende a 0 en ambos extremos, la gráfica se aplana hacia \pm\frac{\pi}{2}.
Demostración de la derivada de arctan x
Sea y = \arctan x, de modo que \tan y = x con -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}. Deriva ambos lados con derivación implícita, usando la derivada de tan x:
La identidad pitagórica \sec^2 y = 1 + \tan^2 y lo convierte en una expresión en x:
Esta vez no hace falta elegir signo, ya que 1 + x^2 siempre es positivo.
Versión con la regla de la cadena: derivada de arctan(u)
Con la regla de la cadena:
| Función | Interior u | Derivada |
|---|---|---|
| \arctan(2x) | 2x | \frac{2}{1 + 4x^2} |
| \arctan(x^2) | x^2 | \frac{2x}{1 + x^4} |
| \arctan(e^x) | e^x | \frac{e^x}{1 + e^{2x}} |
| \arctan(\sqrt{x}) | \sqrt{x} | \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)} |
| \arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) | \frac{x}{a} | \frac{a}{a^2 + x^2} |
La última fila da la integral estándar \int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: arctan de 1/x. Para x \ne 0,
Es la opuesta de la derivada de arctan, así que \arctan x + \arctan\frac{1}{x} es constante a cada lado de 0. Vale \frac{\pi}{2} para x > 0 y -\frac{\pi}{2} para x < 0.
Ejemplo 2: regla del producto. Para f(x) = x\arctan x:
Ejemplo 3: recta tangente. En x = 1, \arctan 1 = \frac{\pi}{4} y la pendiente es \frac{1}{2}. La recta tangente es y = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}(x - 1).
Errores comunes
- Escribir \sec^2 x. Esa es la derivada de \tan x, no de \arctan x.
- Escribir \frac{1}{1 + x}. La x va al cuadrado. Comprueba: en x = 1 la pendiente tiene que ser \frac{1}{2}.
- Olvidar elevar al cuadrado todo el interior. \arctan(3x) da 1 + 9x^2, no 1 + 3x^2.
- Confundirla con \frac{1}{\tan x} = \cot x. \tan^{-1} x es la función inversa.
Leída al revés, esta derivada da la integral de 1/(1 + x²). La integral de arctan x en sí se calcula por partes. Consulta también la función arcotangente y los ejercicios de derivadas de trigonométricas inversas.
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