Derivada de tan x: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de tan x es sec²x. Demostración con la regla del cociente, la forma 1 + tan²x, regla de la cadena para tan(u) y ejemplos como tan(4x) y tan²x.
Derivadas trigonométricas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- \sec^2 x para x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi
- Otras formas
- \dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x
- Con la regla de la cadena
- \dfrac{d}{dx}\tan u = \sec^2 u \cdot u'
- Pendiente en x = 0
- \sec^2 0 = 1
- Versión para integrales
- \int \sec^2 x\,dx = \tan x + C
En esta página
La derivada de \tan x es \sec^2 x. También la verás escrita como \frac{1}{\cos^2 x} o 1 + \tan^2 x. Las tres son la misma función.
Gráfica de tan x y de su derivada
Como \sec^2 x nunca es menor que 1, la función tangente siempre es creciente entre asíntotas. Nunca tiene una tangente horizontal.
Demostración con la regla del cociente
Escribe \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} y usa la regla del cociente:
La identidad pitagórica convierte el numerador en 1:
Si en cambio separas la fracción antes de simplificar, \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x. Esa forma es útil cuando el resultado debe expresarse solo en función de \tan x.
La versión con la regla de la cadena: derivada de tan(u)
| Función | Interior u | Derivada |
|---|---|---|
| \tan(4x) | 4x | 4\sec^2(4x) |
| \tan(x^2) | x^2 | 2x\sec^2(x^2) |
| \tan\sqrt{x} | \sqrt{x} | \frac{\sec^2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} |
| \tan(e^x) | e^x | e^x\sec^2(e^x) |
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: una potencia de la tangente. \frac{d}{dx}\tan^2 x = 2\tan x\cdot\sec^2 x. Aquí la tangente es el interior y el cuadrado es el exterior.
Ejemplo 2: un producto. \frac{d}{dx}(x\tan x) = \tan x + x\sec^2 x, por la regla del producto.
Ejemplo 3: una recta tangente. En x = \frac{\pi}{4}, \tan\frac{\pi}{4} = 1 y la pendiente es \sec^2\frac{\pi}{4} = (\sqrt{2})^2 = 2:
Ejemplo 4: segunda derivada. \frac{d}{dx}\sec^2 x = 2\sec^2 x\tan x, como se calcula en la página de la derivada de sec²x. Es negativa para x < 0 y positiva para x > 0, así que \tan x tiene un punto de inflexión en el origen.
Cómo recordarla
La tangente es la pendiente de una recta que sale del origen con ángulo x. Cuando el ángulo se acerca a un ángulo recto, esa pendiente se dispara, y lo mismo ocurre con \sec^2 x. En x = 0 la gráfica de la tangente pasa por el origen con un ángulo de 45 grados, lo que coincide con una derivada de 1.
Errores comunes
- Escribir \sec x en lugar de \sec^2 x. El cuadrado importa. \frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x, un resultado distinto.
- Escribir \sec^2 x\tan x. Esa es la derivada de \frac{1}{2}\sec^2 x, no de \tan x.
- Aplicar la fórmula en una asíntota. \tan x y su derivada no existen en x = \frac{\pi}{2} + k\pi.
Leer la fórmula al revés da \int\sec^2 x\,dx = \tan x + C; consulta la integral de sec²x. Para \int\tan x\,dx, consulta la integral de tan x.
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